Le variabili casuali

Possiamo dire qualcosa sulla dipendenza di una variabile casuale e sulla funzione di una variabile casuale? Ad esempio $X^2$ dipende da $X$ ?

Ecco una prova del commento di @ cardinal con una piccola svolta. Se e f ( X ) sono indipendenti, allora P ( X ∈ A ∩ f - 1 ( B ) ) = P ( X ∈ A , f ( X ) ∈ B $X$$f(X)$ PrendendoA=f-1(B) siottiene l'equazione P(f(X)∈B)=P(f(X)∈B)2, che ha le due soluzioni 0 e 1. QuindiP(f(X

$$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$$ $A = f^{-1}(B)$ $$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$$ per tutti B . In generale, non è possibile aggiungere altro. Se X e f ( X ) sono indipendenti, allora f ( X ) è una variabile tale che per qualsiasi B è in B o in B c con probabilità 1. Per dire di più, sono necessari più presupposti, ad esempio che singleton imposta { b } sono misurabili.$P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$$B$$X$$f(X)$$f(X)$$B$$B$$B^c$$\{b\}$

Tuttavia, i dettagli a livello teorico della misura non sembrano essere la principale preoccupazione del PO. Se è reale e f è una funzione reale (e usiamo l' algebra di Borel σ , diciamo), quindi prendendo B = ( - ∞ , b ] ne consegue che la funzione di distribuzione per la distribuzione di f ( X ) prende solo il valori 0 e 1, quindi c'è una b in cui salta da 0 a 1 e P ( f ( X ) = b ) = $X$$f$$\sigma$$B = (-\infty, b]$$f(X)$$b$$0$$1$$P(f(X) = b) = 1$.

Alla fine della giornata, la risposta alla domanda dei PO è che e f ( X ) sono generalmente dipendenti e indipendenti solo in circostanze molto speciali. Inoltre, la misura di Dirac δ f ( x ) si qualifica sempre per una distribuzione condizionale di f ( X ) dato X = x , che è un modo formale per dire che conoscendo X = x allora sai anche esattamente cosa f ( X $X$$f(X)$$\delta_{f(x)}$$f(X)$$X = x$$X = x$$f(X)$è. Questa speciale forma di dipendenza con una distribuzione condizionale degenerata è caratteristica per le funzioni di variabili casuali.

Lemma : Sia una variabile casuale e f sia una funzione (misurabile di Borel) in modo tale che X e f ( X ) siano indipendenti. Quindi f ( X ) è costante quasi sicuramente. Cioè, c'è qualche a ∈ R tale che P ( f ( X ) = a ) = 1 .$X$$f$$X$$f(X)$$f(X)$$a \in \mathbb R$$\mathbb P(f(X) = a) = 1$

La prova è di seguito; ma, prima, alcune osservazioni. La misurabilità di Borel è solo una condizione tecnica per garantire che possiamo assegnare le probabilità in modo ragionevole e coerente. L'affermazione "quasi sicuramente" è anche solo un tecnicismo.

L'essenza del lemma è che se vogliamo che e f ( X ) siano indipendenti, i nostri unici candidati sono funzioni della forma f ( x ) = a .$X$$f(X)$$f(x) = a$

In contrasto con il caso di funzioni tale che X e f ( X ) sono incorrelati . Questa è una condizione molto, molto più debole. In effetti, considera qualsiasi variabile casuale X con zero medio, terzo momento assoluto finito e che è simmetrico rispetto allo zero. Prendi f ( x ) = x 2 , come nell'esempio nella domanda. Quindi C o v ( X , f ( X ) ) = E X f $f$$X$$f(X)$$X$$f(x) = x^2$ , quindi X e f ( X ) = X 2 non sono correlati.$\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$$X$$f(X) = X^2$

Di seguito, fornisco la prova più semplice che potrei trovare per il lemma. L'ho reso estremamente dettagliato in modo che tutti i dettagli siano il più ovvi possibile. Se qualcuno vede modi per migliorarlo o semplificarlo, mi piacerebbe saperlo.

Idea di prova : intuitivamente, se conosciamo , allora conosciamo f ( X ) . Quindi, dobbiamo trovare qualche evento in σ ( X ) , l'algebra sigma generata da X , che mette in relazione la nostra conoscenza di X con quella di f ( X ) . Poi, usiamo queste informazioni in collaborazione con l'indipendenza presupposta di X e f ( X ), per dimostrare che le nostre scelte disponibili per F sono stati gravemente limitate.$X$$f(X)$$\sigma(X)$$X$$X$$f(X)$$X$$f(X)$$f$

Prova del lemma : ricorda che e Y sono indipendenti se e solo se per tutti A ∈ σ ( X ) e B ∈ σ ( Y ) , P ( X ∈ A , Y ∈ B ) = P ( X ∈ A ) P ( Y ∈ B ) . Sia Y = f ( X ) per alcune funzioni misurabili di Borel $X$$Y$$A \in \sigma(X)$$B \in \sigma(Y)$$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$$Y = f(X)$$f$tale che e Y sono indipendenti. Definire A ( y ) = { ω : f ( X ( ω ) ) ≤ y } . Quindi, A ( y ) = { ω : X ( ω ) ∈ f - 1 ( ( - ∞ , y ] ) } e da ( - ∞ , y $X$$Y$$\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$

$$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$$ $(-\infty,y]$è un insieme di Borel e è misurabile con Borel, quindi f - 1 ( ( - ∞ , y ] ) è anche un insieme di Borel. Ciò implica che A ( y ) ∈ σ ( X ) (per definizione (!) di σ ( X ) ).$f$$f^{-1}((-\infty,y])$$A(y) \in \sigma(X)$$\sigma(X)$

$X$$Y$$A(y) \in \sigma(X)$

$$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ $y \in \mathbb R$$A(y)$ $$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$$ Combining these last two, we get that for every $y \in \mathbb R$, $$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ so $\Pr(f(X) \leq y) = 0$ or $\Pr(f(X) \leq y) = 1$. This means there must be some constant $a \in \mathbb R$ such that the distribution function of $f(X)$ jumps from zero to one at $a$. In other words, $f(X) = a$ almost surely.

NB: Note that the converse is also true by an even simpler argument. That is, if $f(X) = a$ almost surely, then $X$ and $f(X)$ are independent.