Come calcolare l'intervallo di confidenza del rapporto tra due medie normali

Voglio derivare i limiti per l' intervallo di confidenza del per il rapporto di due mezzi. Supponiamo che e siano indipendenti, il rapporto medio . Ho provato a risolvere: $100(1-\alpha)\%$
$X_1 \sim N(\theta_1, \sigma^2)$ $X_2 \sim N(\theta_2, \sigma^2)$ $\Gamma = \theta_1/\theta_2$ ma questa equazione non può essere risolta per molti casi (nessuna radice). Sto facendo qualcosa di sbagliato? C'è un approccio migliore? Grazie

Pr (- z (α / 2)) \leq X_{1} - Γ X_{2} / σ \sqrt{1 + γ^{2}} \leq z (α / 2)) = 1 - α

$\text{Pr}(-z(\alpha/2)) \leq X_1 - \Gamma X_2 / \sigma \sqrt {1 + \gamma^2} \leq z(\alpha/2)) = 1 - \alpha$

normal-distribution mean

— francogrex
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Il problema è che il rapporto tra due numeri di due distribuzioni normali segue la distribuzione di Cauchy e quindi la varianza non è definita.

@mbq - la distribuzione di Cauchy non presenta problemi per gli intervalli di confidenza, poiché il CDF è la funzione tangente inversa. Non è necessario definire la varianza affinché gli EC funzionino. E il rapporto tra due camper normali con media zero è Cauchy, ma non necessariamente due camper normali con media diversa da zero.

— Probislogic,

@probabilityislogic Certo, devo smettere di provare a pensare la domenica mattina.

Risposte:

Il metodo di Fieller fa quello che vuoi - calcola un intervallo di confidenza per il quoziente di due mezzi, entrambi ipotizzati essere campionati dalle distribuzioni gaussiane.

La citazione originale è: Fieller EC: la standardizzazione biologica dell'insulina. Suppl allo statista JR Soc 1940, 7: 1-64.
L' articolo di Wikipedia fa un buon lavoro di sintesi.
Ho creato un calcolatore online che esegue il calcolo.
Ecco una pagina che riassume la matematica della prima edizione della mia Intuitive Biostatistics

— Harvey Motulsky
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Sono ottimi riferimenti, mi piace anche che tu abbia fatto una calcolatrice per questo (+1). Come previsto, tuttavia, nella calcolatrice si afferma chiaramente che quando l'intervallo di confidenza del denominatore include zero, non è possibile calcolare l'IC del quoziente. Penso che sia lo stesso che succede quando provo a risolvere l'equazione quadratica. supponiamo che la varianza sia 1, mu1 = 0 e mu2 = 1, N = 10000. È irrisolvibile.

— francogrex,

grazie per la calcolatrice online Harvey, sono un tipico biologo con un background insufficiente nelle statistiche e la tua calcolatrice era esattamente ciò di cui avevo bisogno.

— Timtico,

Calcolatrice eccezionale - esattamente quello che stavo cercando. Grazie

— Alexander,

@ harvey-motulsky il collegamento all'appendice non funziona più. Mi chiedevo se il materiale di questa appendice fosse incluso nella terza edizione di Intuitive Biostatistics?

— Gabriel Southern,

@GabrielSouthern Grazie per aver segnalato il marciume del link. Fisso.

— Harvey Motulsky,

R ha il pacchetto mratioscon la funzione t.test.ratio.

Gemechis Dilba Djira, Mario Hasler, Daniel Gerhard e Frank Schaarschmidt (2011). mratios: Inferenze per i rapporti dei coefficienti nel modello lineare generale. Versione pacchetto R 1.3.15. http://CRAN.R-project.org/package=mratios

Vedi anche http://www.r-project.org/user-2006/Slides/DilbaEtAl.pdf

— Alessandro Jacopson
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Inoltre, se si desidera calcolare l'intervallo di confidenza di Fieller non utilizzando mratios(in genere perché non si desidera un adattamento semplice ma ad esempio un adattamento glmer o glmer.nb), è possibile utilizzare la seguente FiellerRatioCIfunzione, con modello l'output del modello, aname il nome del parametro numeratore, bname il nome del parametro denomiator. È inoltre possibile utilizzare direttamente la funzione FiellerRatioCI_basic dando, a, b e la matrice di covarianza tra aeb.

Nota, l'alfa qui è 0,05 e "hardcoded" negli 1,96 del codice. Puoi sostituirli con qualsiasi livello di Studente che preferisci.

FiellerRatioCI <- function (x, ...) { # generic Biomass Equilibrium Level
    UseMethod("FiellerRatioCI", x)
}
FiellerRatioCI_basic <- function(a,b,V,alpha=0.05){
    theta <- a/b
    v11 <- V[1,1]
    v12 <- V[1,2]
    v22 <- V[2,2]

    z <- qnorm(1-alpha/2)
    g <- z*v22/b^2
    C <- sqrt(v11 - 2*theta*v12 + theta^2 * v22 - g*(v11-v12^2/v22))
    minS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 - z/b * C)
    maxS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 + z/b * C)
    return(c(ratio=theta,min=minS,max=maxS))
}
FiellerRatioCI.glmerMod <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[aname]))
    b<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[bname]))
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}
FiellerRatioCI.glm <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a <- coef(model)[aname]
    b <- coef(model)[bname]
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}

Esempio (basato sull'esempio di base glm standard):

 counts <- c(18,17,15,20,10,20,25,13,12)
 outcome <- gl(3,1,9)
 treatment <- gl(3,3)
 glm.D93 <- glm(counts ~ outcome + treatment, family = poisson())

 FiellerRatioCI(glm.D93,"outcome2","outcome3")

ratio.outcome2            min            max 
      1.550427      -2.226870      17.880574

— cmbarbu
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