Valore atteso in funzione dei quantili?

Mi chiedevo dove esiste una formula generale per mettere in relazione il valore atteso di una variabile casuale continua in funzione dei quantili dello stesso rv. Il valore atteso di rv è definito come: e quantili sono definiti come: per .$X$
$E(X) = \int x dF_X(x)$$Q^p_X = \{x : F_X(x) = p \} =F_X^{-1}(p)$$p\in(0,1)$

Esiste una funzione ad esempio tale che: $G$$E(X) = \int_{p\in(0,1)} G(Q^p_X) dp$

L'inverso (inverso destro in caso discreto) della funzione di distribuzione cumulativa è chiamata funzione quantile, spesso indicata con Q ( p ) = F - 1 ( p ) . L'aspettativa μ può essere data in termini di funzione quantile (quando esiste l'attesa ...) come μ = ∫ 1 0 Q ( p $F(x)$$Q(p)=F^{-1}(p)$$\mu$ caso continuo, questo può essere mostrato tramite una semplice sostituzione nell'integrale: Scrivi μ = ∫ x f ( x

$$\mu=\int_0^1 Q(p)\; dp$$ quindi p = F ( x ) tramite la differenziazione implicita porta a d p = f ( x $$\mu = \int x f(x) \; dx$$ $p=F(x)$ : μ = ∫$dp = f(x) \; dx$ Abbiamo ottenuto x = Q ( p ) da p = F ( x ) applicando Q su entrambi i lati. $$\mu = \int x \; dp = \int_0^1 Q(p) \; dp$$ $x=Q(p)$$p=F(x)$$Q$