Qual è la giustificazione statistica dell'interpolazione?

Supponiamo di avere due punti (la seguente figura: cerchi neri) e vogliamo trovare un valore per un terzo punto tra loro (croce). Effettivamente lo stimeremo in base ai nostri risultati sperimentali, i punti neri. Il caso più semplice è disegnare una linea e quindi trovare il valore (cioè interpolazione lineare). Se avessimo dei punti di supporto, ad es., In quanto punti marroni su entrambi i lati, preferiremmo trarne vantaggio e adattarci a una curva non lineare (curva verde).

La domanda è: qual è il ragionamento statistico per contrassegnare la croce rossa come soluzione? Perché le altre croci (ad es. Quelle gialle) non sono risposte dove potrebbero essere? Che tipo di inferenza o (?) Ci spinge ad accettare quello rosso?

Svilupperò la mia domanda originale sulla base delle risposte ottenute per questa domanda molto semplice.

Qualsiasi forma di adattamento delle funzioni, anche non parametriche (che tipicamente fanno ipotesi sulla scorrevolezza della curva in questione), implica ipotesi, e quindi un salto di fiducia.

L'antica soluzione dell'interpolazione lineare è quella che "funziona" quando i dati che hai sono a grana fine "abbastanza" (se guardi un cerchio abbastanza vicino, sembra anche piatto - basta chiedere a Columbus), ed era fattibile anche prima dell'era dei computer (che non è il caso di molte soluzioni di spline moderne). È logico supporre che la funzione "continuerà nella stessa materia (cioè lineare)" tra i due punti, ma non esiste una ragione a priori per questo (escludendo la conoscenza dei concetti a portata di mano).

Diventa rapidamente chiaro quando hai tre (o più) punti non lineari (come quando aggiungi i punti marroni sopra), che l'interpolazione lineare tra ciascuno di essi comporterà presto angoli acuti in ciascuno di essi, che è tipicamente indesiderato. Ecco dove le altre opzioni saltano dentro.

Tuttavia, senza ulteriore conoscenza del dominio, non c'è modo di affermare con certezza che una soluzione è migliore dell'altra (per questo, dovresti sapere qual è il valore degli altri punti, sconfiggendo lo scopo di adattare la funzione nel primo posto).

Sul lato positivo, e forse più pertinente alla tua domanda, in "condizioni di regolarità" (leggi: ipotesi : se sappiamo che la funzione è ad esempio fluida), sia l'interpolazione lineare che le altre soluzioni popolari possono essere dimostrate "ragionevoli" approssimazioni. Tuttavia: richiede ipotesi e, per queste, in genere non disponiamo di statistiche.

È possibile elaborare l'equazione lineare per la linea di adattamento ottimale (ad es. Y = 0,4554x + 0,7525), tuttavia ciò funzionerebbe solo se esistesse un asse etichettato. Tuttavia questo non ti darebbe la risposta esatta solo quella più adatta in relazione agli altri punti.