Stimatore per una distribuzione binomiale

12

Come definiamo uno stimatore per i dati provenienti da una distribuzione binomiale? Per i bernoulli posso pensare a uno stimatore che stima un parametro p, ma per il binomio non riesco a vedere quali parametri stimare quando abbiamo n la caratterizzazione della distribuzione?

Aggiornare:

Per stimatore intendo una funzione dei dati osservati. Uno stimatore viene utilizzato per stimare i parametri della distribuzione che genera i dati.

estimation binomial

— Rohit Banga
fonte

Qual è la tua comprensione di uno "stimatore"? Mi chiedo questo, perché gli stimatori non hanno "parametri". Mi preoccupa il fatto che tu non stia chiaramente comunicando la tua domanda. Forse potresti dare un esempio concreto di una situazione reale che stai considerando.

— whuber

@whuber ha aggiunto ulteriori informazioni. fatemi sapere se volete che aggiunga ulteriori dettagli o se la mia comprensione è difettosa.

— Rohit Banga,

La modifica è corretta, ma un esempio concreto sarebbe comunque di aiuto. In molte applicazioni della distribuzione binomiale,

non è un parametro: è dato e

è l'unico parametro da stimare. Ad esempio, il conteggio

dei successi in

studi indipendenti distribuiti identicamente su Bernoulli ha una distribuzione binomiale (

,

) e uno stimatore del parametro unico

è

.

n

$n$

p

$p$

k

$k$

n

$n$

n

$n$

p

$p$

p

$p$

k / n

$k/n$

— whuber

2

Mi piacerebbe vedere un esempio, anche inventato, di stima di

e

(in un ambiente frequentista). Pensaci: osservi un singolo conteggio, k , dici

. Ci aspettiamo che

approssimativamente sia uguale a

. Quindi stimiamo

,

? O forse

,

? O quasi qualcos'altro? :-) O stai suggerendo che potresti avere una serie di osservazioni indipendenti

n

$n$

p

$p$

k = 5

$k=5$

k

$k$

n p

$n p$

n = 10

$n=10$

p = 0.5

$p=0.5$

n = 5000

$n=5000$

p = 0.001

$p=0.001$

tutto da una distribuzione binomiale

con

e

sconosciuti?

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}

$k_1, k_2, \ldots, k_m$

(n, p)

$(n,p)$

p

$p$

n

$n$

— whuber

1

Sto suggerendo quest'ultimo - entrambi p e n sono sconosciuti. Voglio uno stimatore sia per n che per una funzione di N punti dati osservati.

— Rohit Banga,

12

Immagino che quello che stai cercando sia la funzione generatrice di probabilità. Una derivazione della funzione generatrice di probabilità della distribuzione binomiale può essere trovata sotto

http://economictheoryblog.com/2012/10/21/binomial-distribution/

Tuttavia, dare un'occhiata a Wikipedia al giorno d'oggi è sempre una buona idea, anche se devo dire che le specifiche del binomio potrebbero essere migliorate.

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Specification

— ProofGauss
fonte

1

Ogni distribuzione ha alcuni parametri sconosciuti. Ad esempio nella distribuzione di Bernoulli ha un parametro sconosciuto probabilità di successo (p). Allo stesso modo nella distribuzione binomiale ha due parametri sconosciuti n e p. Dipende dal tuo obiettivo quale parametro sconosciuto vuoi stimare. è possibile correggere un parametro e stimarne un altro. Per maggiori informazioni vedi questo

— love-stats
fonte

E se volessi stimare entrambi i parametri?

— Rohit Banga,

1

Per la stima della massima verosimiglianza, è necessario prendere la derivata della funzione di verosimiglianza rispetto ai parametri interessati ed equiparare tale equazione a zero e risolvere l'equazione. Voglio dire che la procedura è la stessa che hai fatto durante la stima di 'p'. Devi fare lo stesso con 'n'. controlla questo www.montana.edu/rotella/502/binom_like.pdf

— love-stats

@love Le tue stime di riferimento solo

, prendendo

come fisso.

p

$p$

N

$N$

— whuber

-1 @ love-stats Per un esempio di una situazione in cui prendere la derivata della funzione di verosimiglianza, equiparandola a

, ecc. Non funziona , vedere questo tentativo e la soluzione corretta

0

$0$

— Dilip Sarwate,

1

Supponi di avere i dati . $k_1, \dots, k_m \sim \text{iid binomial}(n, p)$

Si potrebbe facilmente Derive stimatori metodo-di-momento per impostazione e e risolvendo per e . $\bar{k} = \hat{n}\hat{p}$ $s_k^2 = \hat{n}\hat{p}(1-\hat{p})$ $\hat{n}$ $\hat{p}$

Oppure potresti calcolare gli MLE (forse solo numericamente), ad esempio usando optimin R.

— Karl
fonte

Si scopre le MLE sono veramente orribile per

--loro sono polarizzati ed estremamente variabile, anche con grandi campioni. Non ho studiato gli stimatori MM, in parte perché spesso non sono nemmeno definiti (ogni volta che

, che succede).

p < 1 / 2

$p \lt 1/2$

s^{2} / \bar{k} > 1

$s^2/\bar{k} \gt 1$

— whuber

@whuber - non ha chiesto un buon stimatore. ;)

— Karl,

1

Perché non proporre

= 17 e

non importa che cosa, allora? :-) Ma hai un punto: la domanda non specifica nemmeno cosa si deve stimare. Se abbiamo solo bisogno uno stimatore per

, poi c'è una buona ovvia disponibili.

\hat{n}

$\hat{n}$

\hat{p} = 1 / 2

$\hat{p}=1/2$

n p

$np$

— whuber

@whuber - Davvero. E non sarei sorpreso di trovare

per la MLE.

\hat{n} \approx max k_{i}

$\hat{n} \approx \max k_i$

— Karl,

Esatto: specialmente quando

è vicino a

, il massimo dei conteggi è l'MLE. Funziona abbastanza bene in questi casi, come potresti immaginare. Per

più piccoli , anche con molti dati, è difficile distinguerlo da una distribuzione di Poisson, per la quale

è effettivamente infinito, portando a un'enorme incertezza nella stima di

.

p

$p$

1

$1$

p

$p$

n

$n$

n

$n$

— whuber

0

Penso che potremmo usare il metodo della stima dei momenti per stimare i parametri della distribuzione binomiale in base alla media e alla varianza.

Utilizzo del metodo della stima dei momenti per stimare I parametri $p$ e $m$ . [{\ hat {p}} _ n = \ frac {\ overline {X} -S ^ 2} {\ overline {X}}] [\ hat {m} _n = \ frac {\ overline {X} ^ 2} {\ overline {X} -S ^ 2}] Prova Gli stimatori dei parametri $m$ e $p$ del Metodo dei momenti sono le soluzioni del sistema di equazioni

m p = \bar{X}, m p (1 - p) = S^{2} .

$mp =\bar{X},\quad mp(1-p) = S^2.$ Quindi le nostre equazioni per il metodo dei momenti sono: [\ overline {X} = mp] [S ^ 2 = mp (1-p).]

Spettacoli aritmetici semplici: [S ^ 2 = mp \ left (1 - p \ right) = \ bar {X} \ left (1 - p \ right)] [S ^ 2 = \ bar {X} - \ bar {X } p] [\ bar {X} p = \ bar {X} -S ^ 2, \ mbox {quindi} \ hat {p} = \ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X }}.] Quindi, [\ bar {X} = mp, \ mbox {ovvero,} m \ left (\ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X}} \ right)] [\ bar {X} = m \ left (\ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X}} \ right), \ mbox {or} \ hat {m} = \ frac {\ bar {X} ^ 2} {\ bar {X} -S ^ 2}. ]

— salma
fonte

1

Sarebbe bello se si potesse espandere su questo, ad esempio, scrivendo la formula per lo stimatore MoM. Altrimenti la risposta non è autonoma; altri (che non conoscono già la risposta) dovranno cercare online il "metodo dei momenti" ecc. fino a trovare la vera risposta.

— jbowman

c'è un modo per rendere correttamente la matematica qui?

— David Refaeli,