OLS vs. Poisson GLM con collegamento identità

La mia domanda rivela la mia scarsa comprensione della regressione di Poisson e dei GLM in generale. Ecco alcuni dati falsi per illustrare la mia domanda:

### some fake data
x=c(1:14)
y=c(0,  1,  2,  3,  1,  4,  9, 18, 23, 31, 20, 25, 37, 45)

Alcune funzioni personalizzate per restituire psuedo-R2:

### functions of pseudo-R2

psuR2 <- function(null.dev, model.dev) { 1 - (model.dev / null.dev)}

predR2 <- function(actuals, predicted) { 1 - (sum((actuals - predicted)^2)) / sum((actuals - mean(actuals))^2)}

Adatto per quattro modelli: OLS, GLM gaussiano con collegamento identità, GLM Poisson con collegamento log, GLM Poisson con collegamento identità

#### OLS MODEL
mdl.ols=lm(y~x)
summary(mdl.ols)
pred.ols = predict(mdl.ols)

summary(mdl.ols)$r.squared
predR2(y, pred.ols)

#### GLM MODEL, family=gaussian(link="identity")
mdl.guass <- glm(y~x, family=gaussian(link="identity"), maxit=500)
summary(mdl.guass)
pred.guass = predict(mdl.guass)

psuR2(mdl.guass$null.deviance, mdl.guass$deviance)
predR2(y, pred.guass)

#### GLM MODEL, family=possion (canonical link)
mdl.poi_log <- glm(y~x, family=poisson(link="log"), maxit=500)
summary(mdl.poi_log)
pred.poi_log= exp(predict(mdl.poi_log))  #transform

psuR2(mdl.poi_log$null.deviance, mdl.poi_log$deviance)
predR2(y, pred.poi_log)

#### GLM MODEL, family=poisson((link="identity")
mdl.poi_id <- glm(y~x, family=poisson(link="identity"), start=c(0.5,0.5), maxit=500)
summary(mdl.poi_id)
pred.poi_id = predict(mdl.poi_id)

psuR2(mdl.poi_id$null.deviance, mdl.poi_id$deviance)
predR2(y, pred.poi_id)

Infine traccia le previsioni:

#### Plot the Fit
plot(x, y) 
lines(x, pred.ols)
lines(x, pred.guass, col="green")
lines(x,pred.poi_log, col="red")
lines(x,pred.poi_id, col="blue")

Ho 2 domande:

1. Sembra che i coefficienti e le previsioni che escono da OLS e Gaussian GLM con collegamento identitario siano esattamente gli stessi. È sempre vero?

2. Sono molto sorpreso che le stime e le previsioni OLS siano molto diverse dal GLM di Poisson con collegamento di identità . Ho pensato che entrambi i metodi avrebbero provato a stimare E (Y | X). Che aspetto ha la funzione di verosimiglianza quando utilizzo il collegamento identità per Poisson?

1. Sì, sono la stessa cosa. MLE per un gaussiano è il minimo dei quadrati, quindi quando fai un GLM gaussiano con collegamento di identità, stai facendo OLS.

2. a) " Ho pensato che entrambi i metodi avrebbero provato a stimare E (Y | X) "

   In effetti lo fanno, ma il modo in cui l'aspettativa condizionale è stimata in funzione dei dati non è lo stesso. Anche se ignoriamo la distribuzione (e quindi il modo in cui i dati entrano nella probabilità) e pensiamo al GLM solo in termini di media e varianza (come se fosse solo una regressione ponderata), la varianza di un Poisson aumenta con la media, quindi i pesi relativi sulle osservazioni sarebbero diversi.

   b) " Che aspetto ha la funzione di verosimiglianza quando utilizzo il collegamento di identità per Poisson? "

   $\mathcal{L}(\beta_0,\beta_1) = \prod_i e^{-\lambda_i}\lambda_i^{y_i}/y_i!$

   $\qquad\qquad\,=\exp(\sum_i -\lambda_i+{y_i}\log(\lambda_i)-\log{(y_i!)}\,)\quad$ dove$\lambda_i=\beta_0+\beta_1 x_i$

   $\qquad\qquad\,=\exp(\sum_i -(\beta_0+\beta_1 x_i)+{y_i}\log(\beta_0+\beta_1 x_i)-\log{(y_i!)}\,)$