Gioco di carte: se pesca quattro carte in modo casuale e ne pesca sei, qual è la probabilità che la mia carta più alta sia più alta della tua più alta?

Come indicato nel titolo, dite che se pesca 4 carte a caso e ne pescate 6 dallo stesso mazzo, qual è la probabilità che la mia carta più alta batte la vostra carta più alta?

Come cambierà se attingiamo da mazzi diversi?

Grazie!

probability maximum

— Wudanao
fonte

È un lavoro domestico?

— Aksakal,

Questa semplice domanda ha una risposta complicata. Le complicazioni sono dovute a due fattori:

Le carte vengono pescate senza sostituzione. (Ogni estrazione pertanto modifica il contenuto del mazzo disponibile per le estrazioni successive.)
Un mazzo di solito ha più carte di ogni valore, creando un pareggio per la carta più alta possibile.

Poiché le complicazioni sono inevitabili, affrontiamo una generalizzazione abbastanza ampia di questo problema e quindi esaminiamo casi speciali. Nella generalizzazione, un "mazzo" è costituito da un numero finito di carte. Le carte hanno "valori" distinti che possono essere classificati dal più basso al più alto. Sia dei valori classificati (con il più basso e il più alto). Un giocatore pesca carte dal mazzo e un secondo giocatore pesca $m$ $n_i \ge 1$ $i$ $i=1$ $i=m$ $a\ge 0$ $b\ge 1$ carte. Qual è la possibilità che la carta con il punteggio più alto nella mano del primo giocatore abbia un valore strettamente maggiore rispetto alla carta con il punteggio più alto nella mano del secondo giocatore? Lascia che questo evento si chiami : una "vittoria" per il primo giocatore. $W$

Un modo per capirlo inizia osservando che la procedura equivale a pescare carte dal mazzo, prendendo la prima di quelle che sono le carte del primo giocatore e la restante come le carte del secondo giocatore. Tra queste carte lascia che sia il valore più alto e che sia il numero di carte di quel valore. Il primo giocatore vince solo quando tiene tutte le di quelle carte. Il numero di modi in cui quelle carte particolari possono essere trovati tra carte è , mentre il numero di modi per posizionare detti carte tra tutti $a+b$ $a$ $b$ $j$ $k \ge 1$ $k$ $a$ $\binom{a}{k}$ $k$ $a+b$ che sono stati disegnati è . $\binom{a+b}{k}$

Ora la possibilità che sia il valore più alto e ci sono tali carte è la possibilità di selezionare da carte di valore e selezionare il restante dal valori. Poiché ci sono disegni equiprobabili delle carte , la risposta è $j$ $k$ $k$ $n_j$ $j$ $a+b-k$ $n_1 + n_2 + \cdots + n_{j-1} = N_{j-1}$ $\binom{N_m}{a+b}$ $a+b$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{N_{m}}{a + b})} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n_{j}} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n_{j}}{k}) (\binom{N_{j - 1}}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{N_m}{a+b}}\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{n_j} \frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n_j}{k}\binom{N_{j-1}}{a+b-k}.$

(In questa espressione, e qualsiasi coefficiente binomiale il cui valore superiore è inferiore al suo valore inferiore, o il cui valore inferiore è negativo, è considerato zero.) È un calcolo relativamente efficiente, che richiede un tempo proporzionale al numero di carte nel mazzo. Poiché coinvolge esclusivamente coefficienti binomiali, è suscettibile di approssimazioni asintotiche per grandi valori di e . $N_0=0$ $a$ $b$

In alcuni casi potresti voler modificare la definizione di "vittoria". Questo è prontamente fatto: scambiando i valori di e , la stessa formula calcola la probabilità che il secondo giocatore vince a titolo definitivo. La differenza tra e la somma di queste due possibilità è la possibilità di un pareggio. Puoi assegnare quella possibilità di pareggio ai giocatori in qualsiasi proporzione desideri. $a$ $b$ $1$

In molti mazzi convenzionali di carte da gioco e per . Consideriamo quindi qualsiasi mazzo in cui tutti gli lo stesso valore, diciamo . In questo caso e la formula precedente si semplifica leggermente a $m=13$ $n_i=4$ $i=1, 2, \ldots, m$ $n_i$ $n$ $N_{j-1} = (j-1)n$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{m n}{a + b})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n}{k}) \sum_{j = 1}^{m} (\binom{(j - 1) n}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{m n}{a+b}}\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n}{k}\sum_{j=1}^m \binom{(j-1)n}{a+b-k}.$

Ad esempio, con e in un mazzo comune di 52 carte di 13 gradi, e , . Una simulazione di 100.000 giochi di questo gioco ha prodotto una stima di , che è precisa a quasi tre cifre significative e non significativamente diversa da quanto afferma la formula. $m=13$ $n=4$ $a=4$ $b=6$ $\Pr(W) = \frac{12297518}{38720339}\approx 0.3176$ $0.3159$

Il seguente Rcodice viene modificato facilmente per stimare per ogni ponte: semplicemente cambiamento , e . È stato impostato per eseguire solo 10.000 giochi, che dovrebbero richiedere meno di un secondo per l'esecuzione ed è buono per due cifre significative nella stima. $\Pr(W)$ abdeck

a <- 4
b <- 6
deck <- rep(1:13, 4)
set.seed(17)
cards <- replicate(1e4, sample(deck, a+b))
win <- apply(cards, 2, function(x) max(x[1:a]) > max(x[-(1:a)]))
m <- mean(win)
se <- sqrt(m*(1-m)/length(win))
cat("Estimated Pr(a wins) =", round(m, 4), "+/-", round(se, 5), "\n")

L'output in questo caso è

Pr stimato (a vittorie) = 0,3132 +/- 0,00464

— whuber
fonte

Bella risposta! Posso chiederti cosa ne pensi se ogni giocatore pesca un mazzo diverso - cambierà la risposta？

— Wudanao,

Sì, cambierà la risposta perché ciò che una persona pesca sarà indipendente da ciò che l'altro giocatore pesca. In un certo senso è una domanda più semplice, perché la risposta è un semplice calcolo della possibilità che una variabile casuale superi il valore di un'altra indipendente da essa.

— whuber

Nota che, se non ci fossero legami, la risposta sarebbe banalmente : tra le carte pescate, una deve essere la più alta e la sua possibilità di finire nella prima la mano del giocatore è su . Ma come noti, la presenza di più carte con lo stesso valore nel mazzo complica le cose.

\frac{a}{a + b}

$\frac{a}{a+b}$

a + b

$a+b$

a

$a$

a + b

$a+b$

— Ilmari Karonen,

@Ilmari Esatto. (Ed è questa intuizione che originariamente ha suggerito la soluzione che ho presentato.) Senza legami, sempre, la somma di scompare e la frazione distingue, mostrando come la formula generale si riduca a questa semplice.

n_{i} = 1

$n_i=1$

k

$k$

(\binom{a}{k}) / (\binom{a + b}{k}) = (\binom{a}{1}) / (\binom{a + b}{1}) = a / (a + b)

$\binom{a}{k}/\binom{a+b}{k} = \binom{a}{1}/\binom{a+b}{1} = a/(a+b)$

— whuber

@WernerCD Vero, ma quell'effetto è stato spiegato: se i semi hanno una classifica, allora non ci sono legami, e quindi la formula si riduce a ciò che il commento di Limari descrive.

— Brilliand,