Calcolo della funzione di collegamento canonico in GLM

Ho pensato che la funzione di collegamento canonico $g(\cdot)$ provenga dal parametro naturale della famiglia esponenziale. Di ', considera la famiglia

f (y, θ, ψ) = \exp {\frac{y θ - b (θ)}{a (ψ)} - c (y, ψ)}

$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$ quindi

θ = θ (μ)

$\theta=\theta(\mu)$ è la funzione di collegamento canonico. Prendiamoad esempio ladistribuzione di Bernoulli, abbiamo

P (Y = y) = μ^{y} (1 - μ)^{1 - y} = \exp {y \log \frac{μ}{1 - μ} + \log (1 - μ)}

$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$ Quindi, la funzione di collegamento canonico

g (μ) = \log \frac{μ}{1 - μ}

$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$

Ma quando vedo questa diapositiva , afferma che

g^{'} (μ) = \frac{1}{V (μ)}

$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$ Sebbene possa essere facilmente verificato per questa particolare distribuzione (e alcune altre distribuzioni, come la distribuzione di Poisson), non riesco a vedere l'equivalenza per il caso generale. Qualcuno può dare suggerimenti? Grazie ~

generalized-linear-model link-function

— ziyuang
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$V(\mu) = \mu(1-\mu)$ $g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$

g^{'} (μ) = \frac{1}{μ} + \frac{1}{1 - μ} = \frac{1 - μ + μ}{μ (1 - μ)} = \frac{1}{μ (1 - μ)} = \frac{1}{V (μ)} .

$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$

E (Y) = μ = b^{'} (θ) and Var (Y) = b^{″} (θ) a (ψ),

$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$

g

$g$

θ = g (μ) = g (b^{'} (θ))

$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$

b^{″} (θ)

$b''(\theta)$

μ

$\mu$

V (μ) = b^{″} (g (μ)) .

$V(\mu) = b''(g(\mu)).$

θ = g (b^{'} (θ))

$\theta = g(b'(\theta))$

1 = g^{'} (b^{'} (θ)) b^{″} (θ) = g^{'} (μ) V (μ),

$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$

Nella costruzione delle funzioni quasi-verosimiglianza è naturale iniziare con il rapporto tra la media e la varianza, data in termini della funzione varianza . In questo contesto l'anti-derivato di può essere interpretato come una generalizzazione della funzione di collegamento, vedere, ad esempio, la definizione della quasi-verosimiglianza (log) a pagina 325 (formula 9.3 ) in McCullagh e Nelder . $V$ $V(\mu)^{-1}$

— NRH
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Grazie @NRH. In realtà conosco l'equivalenza per la distribuzione di Bernoulli. Mi chiedo il caso generale. E grazie per il tuo riferimento, lo controllerò :)

— ziyuang

@ziyuang, il caso generale è ora incluso.

— NRH,

@NRH - solo per aggiungere a questa risposta, le formule di media e varianza possono essere derivate differenziando l'equazione su entrambi i lati rispetto a (o equivalentemente ). Il primo derivato ti dà la media, il secondo ti dà la varianza.

\int f (y, θ, ψ) d y = 1

$\int f(y,\theta,\psi)dy=1$

θ

$\theta$

μ

$\mu$

— Probislogic,

Grazie. E ho trovato un altro link di riferimento: fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/ebooks/html/spm/…

— ziyuang