Il paradosso del prestigiatore di prestigio

Probabilmente conosci il trucco nel film The Prestige :

[SPOILER DEL FILMATO] Un mago ha trovato un trucco magico impressionante: entra in una macchina, chiude la porta, quindi scompare e riappare dall'altra parte della stanza. Ma la macchina non è perfetta: invece di teletrasportarlo, lo duplica. Il mago rimane dove si trova e una copia viene creata dall'altra parte della stanza. Quindi, il mago nella macchina cade discretamente in un serbatoio d'acqua sotto il pavimento e viene annegato. Modifica: la probabilità che la nuova copia del mago venga annegata è 1/2 (in altre parole, la nuova copia ha 1/2 possibilità di essere annegata e 1/2 possibilità di far scoppiare nella stanza). Inoltre, il serbatoio dell'acqua non si guasta mai e le probabilità sono 1 che il mago che cade nel serbatoio muoia.

Quindi al mago non piace molto fare questo trucco, perché "non sai mai dove sarai, dall'altra parte della stanza o affogato".

Ora, il paradosso è il seguente: Immagina che il mago faccia il trucco 100 volte. Quali sono le sue possibilità di sopravvivere?

Modifica, domanda aggiuntiva: quali sono le possibilità che il mago mantenga il suo cervello fisico e non ne abbia uno nuovo?

Analisi rapida: da una parte c'è un mago in vita e 100 maghi annegati, quindi le sue possibilità sono 1 su 100.

D'altra parte, ogni volta che fa il trucco, ha 1/2 possibilità di rimanere in vita, quindi le sue possibilità sono di rimanere in vita. $(1/2)^{100}=1/(2^{100})$

Qual è la risposta giusta e perché?

probability

— Benjamin Crouzier
fonte

Concordo con G.Jay che la domanda difficile è chi sia "il mago" in realtà. Penso che sia meno una questione statistica che una questione filosofica;).

— Steffen,

@steffen Nell'interesse di ricavare qualcosa di utile da una domanda dichiaratamente fantasiosa, immagina che ogni volta che il clone abbia una "H" impressa in modo permanente sulla sua fronte. Possiamo quindi chiedere quali sono le probabilità che dopo aver fatto questo trucco 100 volte, il mago non abbia ancora una "H"? In questo caso, ne sono state create 100 copie e ogni copia è morta. Uno vive ancora.

— whuber

@whuber: La domanda, come descritto, afferma che il clone è quello che potrebbe sopravvivere, mentre quello che entra nella macchina (l'originale nella prima iterazione) morirà il 100% delle volte. Dopo la prima esecuzione di questo atto, l'originale è morto. Non ho mai sentito parlare di questo paradosso prima, quindi forse la domanda l'ha mancato?

— Izkata,

È necessario aggiungere un avviso spoiler nella parte superiore.

— Frank Meulenaar,

Ecco un'interessante domanda a margine: dopo 100 esibizioni, il mago avrà ricordi di essere sopravvissuto 100 volte e di non essere morto. Come bayesiano, come dovrebbe valutare le sue possibilità di sopravvivere la prossima volta? :-). (Ho fatto una domanda apparentemente correlata a The Sleeping Beauty Paradox .) Potrei tracciare sorprendenti parallelismi tra questa situazione e quella dei maghi finanziari e commerciali che oggi sono impegnati a gestire banche e società nel terreno, sostenendo che a loro piace il mago --Sono solo sopravvissuti fortunati. Ma non lo farò.

— whuber

Risposte:

Questo errore fu messo in evidenza nelle conversazioni scritte tra Fermat, Pascal ed eminenti matematici francesi nel 1654, quando i primi due stavano prendendo in considerazione il "problema dei punti". Un semplice esempio è questo:

Due persone scommettono sull'esito di due lanci di una moneta giusta. Il giocatore A vince se uno dei due lanci è testa; in caso contrario, vince il giocatore B. Quali sono le possibilità di vincita del giocatore B?

Il falso argomento inizia esaminando l'insieme dei possibili risultati, che possiamo enumerare:

H : Il primo capovolgimento sono le teste. Il giocatore A vince.
TH : Solo il secondo capovolgimento è testa. Il giocatore A vince.
TT : nessuna vibrazione è teste. Il giocatore B vince.

Poiché il giocatore A ha due possibilità di vincere e B ha solo una possibilità, le probabilità a favore di B sono (secondo questo argomento) 1: 2; cioè, le probabilità di B sono 1/3. Tra coloro che difendevano questo argomento c'erano Gilles Personne de Roberval , un membro fondatore dell'Accademia delle Scienze francese.

L'errore è evidente per noi oggi, perché siamo stati educati da persone che hanno imparato da questa discussione. Fermat ha sostenuto (correttamente, ma non in modo molto convincente) che il caso (1) debba davvero essere considerato due casi, come se il gioco fosse stato giocato con entrambe le lancette, non importa quale. Invocare un'ipotetica sequenza di lanci che in realtà non è stata eseguita rende molte persone a disagio. Al giorno d'oggi potremmo trovare più convincente solo calcolare le probabilità dei singoli casi: la possibilità di (1) è 1/2 e le possibilità di (2) e (3) sono ogni 1/4, da cui la possibilità che A le vittorie equivalgono a 1/2 + 1/4 = 3/4 e la probabilità che B vinca è 1/4. Questi calcoli si basano su assiomi di probabilità, che furono definitivamente stabiliti all'inizio del 20 ° secolo, ma furono fondamentalmente stabiliti dall'autunno del 1654 da Pascal e Fermat e resi popolari in Europa tre anni dopo da Christian Huyghens nel suo breve trattato sulla probabilità (il primo mai pubblicato), De ratiociniis in ludo aleae (calcolo nei giochi d'azzardo).

La domanda attuale può essere modellata come 100 lanci di monete, con teste che rappresentano la morte e code che rappresentano la sopravvivenza. L'argomento per "1 su 100" (che in realtà dovrebbe essere 1/101, tra l'altro) ha esattamente lo stesso difetto.

— whuber
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@whuber dovrebbero davvero avere +7 pulsanti.

Da una parte c'è un mago in vita e 100 maghi annegati, quindi le sue possibilità sono 1 su 100.

Questo ragionamento presuppone implicitamente che ogni mago abbia la stessa probabilità di sopravvivere alla fine del processo. Tuttavia, solo l'originale avrebbe dovuto sopportare tutte e 100 le prove e avrebbe avuto le peggiori probabilità. Contrasta l'originale con l'ultimo clone che viene creato; deve sopravvivere solo una volta e ha una probabilità 1 su 2 di essere il sopravvissuto solitario.

Fai finta che invece di cloni abbiamo a che fare con un torneo a eliminazione singola (come il famoso torneo di basket NCAA ogni marzo). L'originale deve durare 100 round mentre l'ultimo clone deve giocare solo nelle finali del torneo. È probabile che non tutti i cloni durino fino alla fine e l'originale ha le peggiori possibilità di . $\frac{1}{2^{100}}$

— Michael McGowan
fonte

La probabilità che sopravviva è 1 per ogni prova, e la probabilità è 1 che muoia per ogni prova (nonostante il fallimento del serbatoio dell'acqua). Dopo la duplicazione, non c'è più "lui"; ci sono "lui".

A proposito: se la duplicazione è imperfetta, allora su ogni prova (dato un serbatoio fidato) e su ogni prova (nonostante trigger-felice membri del pubblico).

P (d i e s) = 1

$P(\mathrm{dies}) = 1$

P (i m p e r f e c t c l o n e s u r v i v e s) = 1

$P(\mathrm{imperfect\ clone\ survives}) = 1$

BBTW: se la macchina duplica in modo imperfetto e seleziona casualmente uno da teletrasportare (lasciando che l'altro anneghi), allora avresti bisogno di maggiori informazioni / ipotesi sulla selezione casuale.

@Jay: ho modificato la mia domanda sul teletrasporto

— Benjamin Crouzier,

Grazie. Hai affrontato il teletrasporto ma non hai inchiodato se la duplicazione è perfetta o meno. Se la duplicazione è perfetta, la mia risposta rimane la stessa (vedi il commento di @ steffen). Se la duplicazione è imperfetta (come sembra che tu stia cercando) la risposta è come nell'ultimo paragrafo della risposta di whuber, e l'altra risposta è sbagliata per i motivi whuber e Michael dettagliati.

1 / 2^{100}

$1/2^{100}$

@downvoter: l'idea è quella di scrivere il motivo per cui si annota il voto in modo che le risposte migliorino nel tempo.