Cos'è questo compromesso di bias varianza per i coefficienti di regressione e come derivarlo?

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In questo documento , ( Bayesian Inference for Variance Components Using Only Error Contrasts , Harville, 1974), l'autore afferma per essere un "noto relazione ", per una regressione lineare dove

(y - X β)^{'} H^{- 1} (y - X β) = (y - X \hat{β})^{'} H^{- 1} (y - X \hat{β}) + (β - \hat{β})^{'} (X^{'} H^{- 1} X) (β - \hat{β})

$(y-X\beta)'H^{-1}(y-X\beta)=(y-X\hat\beta)'H^{-1}(y-X\hat\beta)+(\beta-\hat\beta)'(X'H^{-1}X)(\beta-\hat\beta)$

y = X β + ϵ,

$y=X\beta+\epsilon,$

ϵ \sim N (0, H) .

$\epsilon\sim\mathcal{N}(0, H).$

Come è noto questo? Qual è il modo più semplice per dimostrarlo?

— Sibbs Gioco d'azzardo
fonte

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È su Wikipedia , vedi 'derivazione' lì.

— user603,

@ user603 Ti dispiace rendere il collegamento più chiaro? Grazie!

— Sibbs Gambling,

@ user603 Spiacente, non riesco davvero a vedere come il collegamento risolve il problema. Per me, nel mio caso, l'equazione è Var (y) = bias + ... Puoi elaborare?

— Sibbs Gambling

4

@SibbsGambling Nota che la tua equazione ha due termini relativi alla varianza in questa formulazione di una regressione lineare ponderata . Il termine a sinistra è correlato alla varianza attorno al modello reale (ponderato dalla matrice di precisione ). Il primo termine a destra è legato alla varianza attorno ai modelli montati. Il secondo termine a destra è correlato al quadrato del bias. Questo è il compromesso della differenziazione.

H^{- 1}

$H^{-1}$

— EdM

6

L'ultimo termine dell'equazione può essere scritto come

(X β - X \hat{β})^{'} H^{- 1} (X β - X \hat{β}) .

$(X\beta - X\hat{\beta})'H^{-1}(X\beta - X\hat{\beta}).$

In questa forma l'equazione sta dicendo qualcosa di interessante. Supponendo che sia definito positivo e simmetrico, così come il suo contrario. Pertanto, possiamo definire un prodotto interno , dandoci geometria. Quindi l'uguaglianza di cui sopra sta essenzialmente dicendo che $H$ $<x, y>_{H^{-1}} = x'H^{-1}y$

(X β - X \hat{β}) ⊥ (y - X \hat{β}) .

$(X\beta - X\hat{\beta}) \perp (y - X\hat{\beta}).$

Volevo darti questo po 'di intuizione poiché un commentatore ha già lasciato un link alla derivazione.

Modifica: per i posteri

LHS:

\begin{array}{rcl} (y - X β)^{'} H^{- 1} (y - X β) & = & y^{'} H^{- 1} y & - & 2 y^{'} H^{- 1} X β & + & β^{'} X^{'} H^{- 1} X β \\ = & (A) & - & (B) & + & (C) \end{array}

$\begin{eqnarray} (y-X \beta)'H^{-1}(y-X \beta) &=& y'H^{-1}y &-& 2y'H^{-1}X \beta &+& \beta'X'H^{-1}X\beta \\ &=& (A) &-& (B) &+& (C) \end{eqnarray}$

RHS:

(y - X \hat{β})^{'} H^{- 1} (y - X \hat{β}) + (β - \hat{β})^{'} (X^{'} H^{- 1} X) (β - \hat{β})

$(y-X\hat\beta)'H^{-1}(y-X\hat\beta)+(\beta-\hat\beta)'(X'H^{-1}X)(\beta-\hat\beta)$

\begin{array}{rcl} = & y^{'} H^{- 1} y & - 2 y^{'} H^{- 1} X \hat{β} & + {\hat{β}}^{'} X^{'} H^{- 1} X \hat{β} & + β X^{'} H^{- 1} X β & - 2 \hat{β} X^{'} H^{- 1} X β & + {\hat{β}}^{'} X^{'} H^{- 1} X \hat{β} \\ = & (A) & - (D) & + (E) & + (C) & - (F) & + (E) \end{array}

$\begin{eqnarray} &=& y'H^{-1}y &- 2y'H^{-1}X\hat{\beta} &+ \hat{\beta}'X'H^{-1}X\hat{\beta} &+ \beta X'H^{-1}X\beta &- 2\hat{\beta}X'H^{-1}X\beta &+ \hat{\beta}'X'H^{-1}X\hat{\beta} \\ &=& (A) &- (D) &+ (E) &+ (C) &- (F) &+ (E) \end{eqnarray}$

Relazione:

\hat{β} = (X^{'} H^{- 1} X)^{- 1} X^{'} H^{- 1} y

$\hat{\beta} = (X'H^{-1}X)^{-1}X'H^{-1}y$

Collegando la relazione è possibile mostrare che (B) = (F) e che 2 (E) = (D). Tutto fatto.

— jlimahaverford
fonte

Spiacenti, non riesco davvero a vedere come il collegamento risolve il problema. Per me, nel mio caso, l'equazione è Var (y) = bias + ... Puoi elaborare?

— Sibbs Gambling

@SibbsGambling ha modificato la mia risposta inclusa la derivazione.

— jlimahaverford,

@jlimahaverford non stai dimenticando la alla fine della formula per ?

y

$y$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

— Gumeo,

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Arrivano a questa identità con una tecnica chiamata completamento della piazza. Il lato sinistro è in forma quadratica, quindi inizia moltiplicandolo

(y - X β)^{'} H^{- 1} (y - X β) = y^{'} H^{- 1} y - 2 y^{'} H^{- 1} X β + β^{'} X^{'} H^{- 1} X β

$(y-X\beta)'H^{-1}(y-X\beta)= y'H^{-1}y - 2y'H^{-1}X\beta + \beta'X'H^{-1} X\beta$

continuare e riscrivere in termini di . L'algebra è un po 'lunga ma googling che completa la piazza nella regressione bayesiana e puoi trovare molti suggerimenti. Ad esempio, vedi la Wikipedia sulla regressione lineare bayesiana e altre risposte CrossValided relative al completamento del quadrato, come qui . $\hat{\beta} = (X'H^{-1}X)^{-1}X'H^{-1}y$

— bill_e
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2

Se conosci la tua algebra matriciale, allora questo dovrebbe essere fatti moltiplicando tutto e verificando che tu abbia davvero lo stesso su entrambi i lati. Questo è ciò che ha dimostrato Jlimahaverford.

Per poterlo fare è necessaria la formula per la stima di . Possiamo derivare la formula in modo simile a quello della regressione lineare quando abbiamo termini di errore non correlati. Il trucco è standardizzare. $\hat{\beta}$

Ecco alcune informazioni su come standardizzare un camper che proviene da una distribuzione normale multivariata. Supponiamo che tu abbia è definita positiva, in modo da poter fattorizzare come . Ora la variabile casuale viene dalla distribuzione . Ora possiamo usare questo trucco per il nostro problema per trovare . Let factorize . Abbiamo Now è stato standardizzato, tale che

X \sim N (μ, Σ) .

$\mathbf{X}\sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma).$

Σ

$\Sigma$

Σ = P P^{T}

$\Sigma = PP^T$

Y = P^{- 1} (X - μ)

$\mathbf{Y}=P^{-1}(\mathbf{X}-\mu)$

N (0, I)

$\mathcal{N}(0,I)$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

H = P P^{T}

$H=PP^T$

\begin{aligned} y & = X β + ϵ \\ P^{- 1} y & = P^{- 1} X β + P^{- 1} ϵ \end{aligned}

$\begin{align} y&=X\beta+\epsilon\\ P^{-1}y &= P^{-1}X\beta + P^{-1}\epsilon \end{align}$

ϵ

$\epsilon$

cov (P^{- 1} ϵ) = I

$\text{cov}(P^{-1}\epsilon)=I$ , quindi ora possiamo trattarlo come un semplice modello di regressione lineare multipla in cui: Quindi abbiamo il problema di regressione: La formula per è Questa è la chiave da fare questo, il resto è la manipolazione algebrica dimostrata nella soluzione da jlimahaverford.

\tilde{X} = P^{- 1} X, \tilde{y} = P^{- 1} y and \tilde{ϵ} = P^{- 1} ϵ .

$\tilde{X}=P^{-1}X,\qquad \tilde{y}=P^{-1}y\quad\text{and}\quad \tilde{\epsilon}=P^{-1}\epsilon.$

\tilde{y} = \tilde{X} β + \tilde{ϵ}

$\tilde{y}=\tilde{X}\beta+\tilde{\epsilon}$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

\begin{aligned} \hat{β} & = ({\tilde{X}}^{T} \tilde{X})^{- 1} {\tilde{X}}^{T} \tilde{y} \\ = ((P^{- 1} X)^{T} P^{- 1} X)^{- 1} (P^{- 1} X)^{T} P^{- 1} y \\ = (X^{T} (P P^{T})^{- 1} X)^{- 1} X (P P^{T})^{- 1} y \\ = (X^{T} H^{- 1} X)^{- 1} X H^{- 1} y \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\beta} &= (\tilde{X}^T\tilde{X})^{-1}\tilde{X}^T\tilde{y}\\ &=((P^{-1}X)^TP^{-1}X)^{-1}(P^{-1}X)^TP^{-1}y\\ &=(X^T(PP^T)^{-1}X)^{-1}X(PP^T)^{-1}y\\ &=(X^TH^{-1}X)^{-1}XH^{-1}y \end{align}$

— Gumeo
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