Quando si ri-parametrizza una funzione di verosimiglianza, è sufficiente collegare la variabile trasformata anziché una formula di modifica delle variabili?

Supponiamo che sto provando a ri-parametrizzare una funzione di probabilità che è distribuita esponenzialmente. Se la mia funzione di probabilità originale è:

$$p(y \mid \theta) = \theta e^{-\theta y}$$

e vorrei parametrizzarlo nuovamente usando , dato che non è una variabile casuale, ma un parametro, è sufficiente solo per il plug-in?$\phi = \frac{1}{\theta}$$\theta$

Quello che intendo esplicitamente è:

$$p\left(y \mid \phi = \frac{1}{\theta}\right) = \frac{1}{\phi} e^{-\frac{1}{\phi} y}$$

Se è così, non sono sicuro di quale sia la teoria alla base. La mia comprensione è che la funzione di verosimiglianza è una funzione del parametro, quindi il motivo per cui non ho bisogno di usare una formula di modifica delle variabili mi confonde. Qualsiasi aiuto sarebbe molto apprezzato, grazie!

Non hai bisogno di un giacobino nella tua trasformazione perché è una distribuzione di probabilità su , non su θ . Essa deve integrare a uno in y , se usate θ o φ : , quindi la densità a posteriori di θ è p ( θ | y ) α p ( θ ) p ( y | θ ) e la densità a posteriori di φ è $y$$\theta$$y$$\theta$$\phi$ È solo quando includi una misura (bayesiana) su θ che appare il giacobino. Cioè, se p ( θ ) è il precedente in

$$\int p(y|\theta)\text{d}y = \int p(y|\phi)\text{d}y = 1$$ $\theta$$p(\theta)$$\theta$$\theta$ $$p(\theta|y)\propto p(\theta) p(y|\theta)$$ $\phi$che coinvolge il giacobino| ∂ $$p(\phi|y)\propto p(y|\phi)p(\phi)=p(y|\theta(\phi))p(\theta(\phi))\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|\propto p(\theta(\phi)|y)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$$ .$\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$