Insieme di variabili non correlate ma linearmente dipendenti

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È possibile avere un insieme di variabili non correlate ma linearmente dipendenti? $K$

cioè e $cor(x_i, x_j)=0$ $\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

Se sì, puoi scrivere un esempio?

MODIFICA: Dalle risposte segue che non è possibile.

Sarebbe almeno possibile che dove è il coefficiente di correlazione stimato stimato da campioni delle variabili e è una variabile non correlata a . $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$ $\hat\rho$ $n$ $v$ $x_i$

Sto pensando a qualcosa come $x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

correlation mathematical-statistics multicollinearity

— Donbeo
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Come mostra la risposta di @ RUser4512, le variabili casuali non correlate non possono essere dipendenti linearmente. Ma variabili casuali quasi non correlate possono essere linearmente dipendenti, e un esempio di questi è qualcosa di caro al cuore dello statistico.

Supponiamo che sia un insieme di variabili casuali di varianza unitaria non correlata con media comune . Definisci dove . Quindi, sono variabili casuali a media zero tali che , cioè sono linearmente dipendenti. Ora, modo che mentre che mostra che il $\{X_i\}_{i=1}^K$ $K$ $\mu$ $Y_i = X_i - \bar{X}$ $\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$ $Y_i$ $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$

Y_{io} = \frac{K - 1}{K} X_{io} - \frac{1}{K} \underset{j \neq io}{Σ} X_{j}

$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$

var (Y_{io}) = {(\frac{K - 1}{K})}^{2} + \frac{K - 1}{K^{2}} = \frac{K - 1}{K}

$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$

COV (Y_{io}, Y_{j}) = - 2 (\frac{K - 1}{K}) \frac{1}{K} + \frac{K - 2}{K^{2}} = \frac{- 1}{K}

$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$

Y_{i}

$Y_i$ sono variabili casuali quasi non correlate con coefficiente di correlazione .

- \frac{1}{K - 1}

$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$

Vedi anche questa mia precedente risposta .

— Dilip Sarwate
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Questo è davvero un bell'esempio!

— RUser4512,

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No.

Supponiamo che uno dei è diverso da zero. Senza perdita di generalità, supponiamo che . $a_i$ $a_1=1$

Per , ciò implica e . Ma questa correlazione è zero. deve essere zero, in contraddizione con l'esistenza di una relazione lineare. $K=2$ $x_1=-a_2x_2$ $cor(x_1,x_2)=-1$ $a_1$

$K$ $x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$ $cor(x_1,x_k)=-1$ $cor(x_1,x_k)=0$ $a_i$ $i>1$ $a_1$

— RUser4512
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\sum_{i} a_{i} x_{i} = 0

$\sum_i a_ix_i =0$

\sum_{i} a_{i}^{2} = 0

$\sum_i a_i^2 =0$

Ottima risposta Sarebbe bello poter rispondere anche alla domanda modificata.

— Donbeo,

v

$v$

x_{K}

$x_K$

c o r (x_{K}, x_{i}) = 1 / K

$cor(x_K, x_i)=1/K$

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$X$ $Y$

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

$X+Y=0$ $X$ $Y$

$X$ $Y$

— Karl Ove Hufthammer
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