Dati n. R. Uniformemente distribuiti, qual è il PDF per un rv diviso per la somma di tutti i n. V.

10

Sono interessato al seguente tipo di caso: ci sono 'n' variabili casuali continue che devono essere sommate a 1. Quale sarebbe quindi il PDF per ogni singolo individuo tale variabile? Quindi, se , allora sono interessato alla distribuzione per , dove e sono tutti distribuiti uniformemente. La media ovviamente, in questo esempio, è , poiché la media è solo , e sebbene sia facile simulare la distribuzione in R, non so quale sia l'equazione effettiva per PDF o CDF. $n=3$ $\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$ $X_1, X_2$ $X_3$ $1/3$ $1/n$

Questa situazione è correlata alla distribuzione di Irwin-Hall ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution ). Solo Irwin-Hall è la distribuzione della somma di n variabili casuali uniformi, mentre mi piacerebbe la distribuzione per una di n rv uniforme divisa per la somma di tutte le n variabili. Grazie.

uniform

— user3593717
fonte

1

Se le variabili casuali uniformi continue si sommano a , allora con , e quindi la distribuzione di è uguale alla distribuzione di , giusto?

n

$n$

1

$1$

n = 3

$n=3$

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 1

$X_1+X_2+X_3 = 1$

\frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2} + X_{3}} = X_{1}

$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3} = X_1$

X_{1}

$X_1$

— Dilip Sarwate,

1

Dovrei correggermi: le distribuzioni uniformi N non si sommano a 1. Presumo che siano tutte uniformi tra 0 e 1, e quindi la loro somma può essere qualsiasi da 0 a N. Sto pensando di prendere ogni variabile uniforme e dividere dalla somma di tutte le N variabili uniformi per ottenere un insieme di N variabili casuali che si sommano a 1 e hanno un valore atteso 1 / N. Nota: ho rimosso la parola "uniforme" dalla mia prima frase. La distribuzione che sto cercando non è uniforme, ma deriva dalla divisione di una delle variabili N uniformi per la somma di tutte le N variabili uniformi, in qualche modo. Non sono sicuro di come.

— user3593717

Dove è distribuito esponenzialmente, il vettore di variabili normalizzate ha una distribuzione di Dirichlet. Questo può essere di per sé interessante, ma esaminato potrebbe anche fornire tattiche per questo tipo di situazione.

X_{i}

$X_i$

— congetture il

4

I punti di interruzione nel dominio lo rendono in qualche modo disordinato. Un approccio semplice ma noioso è costruire fino al risultato finale. Per lascia e Quindi $n=3,$ $Y=X_2 + X_3,$ $W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$ $T = 1 + W.$ $Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

I punti di interruzione sono 1 per 1 e 2 per 2 e 3 per e e per Ho trovato che il pdf completo era $Y,$ $W,$ $T,$ $1/3$ $1/2$ $Z.$

f (z) = {\begin{cases} \frac{1}{(1 - z)^{2}}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{3 z^{3} - 9 z^{2} + 6 z - 1}{3 z^{3} (1 - z)^{2}}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{1 - z}{3 z^{3}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

Il cdf può quindi essere trovato come

F (z) = {\begin{cases} \frac{z}{(1 - z)}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{1}{2} + \frac{- 18 z^{3} + 24 z^{2} - 9 z + 1}{6 z^{2} (1 - z)}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{5}{6} + \frac{2 z - 1}{6 z^{2}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

— soakley
fonte

+1 Nizza. Inoltre, la tua densità concorda magnificamente con la simulazione.

— Glen_b -Restate Monica

2

Sia . Possiamo trovare il cdf di calcolando Quindi differenziamo e sostituiamo il pdf di Irwin-Hall per ottenere il pdf desiderato: $Y=\sum_{i=2}^n X_i$ $X_1/\sum_{i=1}^n X_i$

\begin{aligned} P (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} \leq t) & = P (X_{1} \leq t \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) \\ = P ((1 - t) X_{1} \leq t \sum_{i = 2}^{n} X_{i}) \\ = P (X_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) \\ = \int_{0}^{1} P (x_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) d x_{1} \\ = \int_{0}^{1} (1 - F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1})) d x_{1} \\ = 1 - \int_{0}^{1} F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$

\begin{aligned} f (t) & = \int_{0}^{1} f_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) \cdot \frac{x_{1}}{t^{2}} d x_{1} \\ = \frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{1 \land \frac{(n - 1) t}{1 - t}} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{1 - t}{t} x_{1} ⌋} \frac{1}{(n - 2)!} (- 1)^{k} (\binom{n - 1}{k}) (\frac{1 - t}{t} x_{1} - k)^{n - 1} x_{1} d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$ Da qui diventa un po 'disordinato, ma dovresti essere in grado di scambiare l'integrale e la somma e quindi eseguire una sostituzione (ad esempio, ) per valutare l'integrale e quindi ottenere un formula esplicita per il pdf.

u = \frac{t x_{1}}{1 - t} - k

$u=\frac{tx_1}{1-t}-k$

— Brent Kerby
fonte

1

assumendo

"le distribuzioni uniformi N non equivalgono a 1."

Ecco come ho iniziato (è incompleto):

Considera e lascia con un leggero abuso di notazione. $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X=X_i$

Considera, e : $U = \frac{X}{Y}$ $V =Y$

X = U V Y = V

$X=UV\\ Y=V$

Quindi seguente trasformazione di variabili :

J = [\begin{matrix} V & U \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

La funzione di probabilità congiunta di è data da: $(U,V)$

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

Dove e $X \sim U(0,1)$ $Y \sim IrwinHall$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

E,

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (x - k)^{n - 1} s i g n (x - k)

$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$

Pertanto,

f_{U, V} (u, v) = {\begin{cases} \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (u v - k)^{n - 1} s i g n (u v - k) & 0 \leq u v \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

e $f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

— rightskewed
fonte

0

Supponiamo di sapere già che la somma di ha una distribuzione di Irwin-Hall. Ora la tua domanda cambia per trovare il pdf (o CDF) di quando X aveva una distribuzione e ha una distribuzione Irwin-Hall. $U(0,1)$ $\frac{X}{Y}$ $U(0,1)$ $Y$

In primo luogo abbiamo bisogno di trovare lui pdf congiunta di e . $X$ $Y$

Lascia $Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

Poi

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

Poiché sono iid con quindi $X_1, X_2, X_3$ $U(0,1),$ $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

La distribuzione congiunta con è $y_1,y_2,y_3$

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

Successivamente, integriamo e possiamo ottenere la distribuzione congiunta di e ovvero la distribuzione congiunta di e $Y_2$ $Y_1$ $Y_3$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$

Come suggerito da whuber ora ho cambiato i limiti

\begin{matrix} (1) & h (y_{1}, y_{3}) = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) d y_{2} = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} 1 d y_{2} = y_{3} - y_{1} - 2 \end{matrix}

$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$

Ora sappiamo che il pdf congiunto di cioè il pdf congiunto e è . $X,Y$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$ $y_3-y_1-2$

Ora trova il pdf di $\frac{X}{Y}$

Abbiamo bisogno di un'altra trasformazione:

Lascia $Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

Quindi $X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

Poi

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

abbiamo già la distribuzione congiunta di dai punti precedenti ref (1) . $X,Y$

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

Successivamente, integriamo , otteniamo il pdf di quindi otteniamo il pdf di $y_1$ $y_2$ $\frac{X}{Y}$

\begin{matrix} (2) & h_{2} (y_{2}) = \int_{0}^{1} (y_{3} - y_{1} - 2) \frac{y_{1}}{y_{2}^{2}} d y_{1} = \frac{1}{y_{2}^{2}} (\frac{y_{3}}{2} - \frac{1}{3} - 1) \end{matrix}

$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$

Questo è il pdf di ie $X/Y$ $\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

Non abbiamo ancora finito, che cos'è in (2) allora? $y_3$

Sappiamo che dalla prima trasformazione. $Y_3=X_1+X_2+X_3$

Quindi almeno sappiamo che ha una distribuzione Irwin-Hall . $Y_3$

Mi chiedo se possiamo collegare Irwin-Hall per pdf a (2) per ottenere una formula esplicita? o possiamo fare alcune simulazioni da qui come ha suggerito Glen? $n=3$

— Profondo nord
fonte

2

La simulazione non sembra concordare con quel pdf.

— Glen_b -Restate Monica

La logica e i passaggi sembrano corretti, ma mi sento a disagio su questa soluzione.

— Deep North,

2

Dove hai integrato , tenere conto delle condizioni e .

y_{2}

$y_2$

y_{1} \leq y_{2} \leq y_{3}

$y_1\le y_2\le y_3$

y_{3} - 1 \leq y_{2} \leq y_{1} + 1

$y_3-1 \le y_2\le y_1+1$

— whuber