Come testare statisticamente se la mia rete (grafico) è una rete "piccolo mondo" o no?

Una rete di piccoli mondi è un tipo di grafico matematico in cui la maggior parte dei nodi non sono vicini l'uno all'altro, ma la maggior parte dei nodi possono essere raggiunti l'uno dall'altro con un piccolo numero di salti o passaggi. In particolare, una rete di piccoli mondi è definita come una rete in cui la distanza tipica L tra due nodi scelti casualmente (il numero di passaggi richiesti) cresce proporzionalmente al logaritmo del numero di nodi N nella rete, ovvero

$$L \approx \log(N)$$

Questa relazione tra L e N è una "regola del pollice". Sto cercando una determinazione più professionale dei grafici del piccolo mondo per la mia ricerca. Come posso verificare se il mio grafico è un piccolo mondo o no?

L' esperimento del piccolo mondo comprendeva diversi esperimenti condotti da Stanley Milgram e altri ricercatori che esaminavano la lunghezza media del percorso per i social network di persone negli Stati Uniti. La ricerca è stata rivoluzionaria in quanto ha suggerito che la società umana è una rete di tipo piccolo mondo caratterizzata da brevi percorsi. Gli esperimenti sono spesso associati alla frase "sei gradi di separazione", sebbene Milgram non abbia usato questo termine da solo.

Grazie in anticipo.

TL; DR:

Non puoi.

Cosa si fa di solito

L'attuale "stato dell'arte" nel determinare se una rete è un piccolo mondo utilizza il seguente approccio:

1. $L$$C$

2. Generare un insieme appropriato di reti a modello nullo, come grafici casuali Erdős – Rényi o grafici casuali Maslov – Sneppen .

3. $L_\text{r}$$C_\text{r}$

4. Calcola il percorso più breve normalizzato . e .$λ := L/L_\text{r}$$γ := C/C_\text{r}$

5. Se e soddisfano determinati criteri (ad esempio, e ), chiamare la rete una rete di piccoli mondi.$λ$$γ$$λ≈1$$γ>1$

L'idea alla base è che:

• Le reti dei piccoli mondi dovrebbero avere una struttura spaziale, che si riflette in un alto coefficiente di raggruppamento. Al contrario, le reti casuali non hanno tale struttura e un basso coefficiente di clustering.

• Le reti di piccoli mondi sono efficienti nel comunicare e simili e quindi hanno una lunghezza del percorso più breve, paragonabile a quella delle reti casuali. Al contrario, le reti puramente spaziali hanno una lunghezza del percorso più breve.

Dove sono i problemi

• Questo non dice nulla su come il percorso più breve medio si ridimensiona con la dimensione della rete. In effetti, per le reti reali, l'intera definizione citata non può essere applicata, in quanto non esiste una stessa rete con un diverso numero di nodi.

• Supponiamo di prendere qualche altra definizione di un piccolo mondo che non è direttamente basato sui valori di e , ad esempio:$λ$$γ$

  Una rete di piccole dimensioni è una rete spaziale con connessioni a lungo raggio aggiunte.

  Quindi non possiamo ancora avere implicazioni solide sul fatto che tale definizione sia soddisfatta usando solo e (o in effetti altre misure di rete). L'interpretazione di molti studi presuppone che tutte le reti siano una realizzazione del modello Watts – Strogatz per una certa probabilità di ricablaggio, il che non è affatto giustificato: conosciamo molti altri modelli di rete, le cui realizzazioni sono completamente diverse dal modello Watts – Strogatz.$λ$$γ$

• Il metodo sopra riportato non è affidabile per gli errori di misurazione. Piccoli errori durante la creazione di una rete da misurazioni sono sufficienti per rendere, ad esempio, un reticolo simile a una rete di piccoli mondi, vedi ad esempio Bialonski et al., Chaos (2010) e Papo et al., Front. Ronzio. Neurosci. (2016) . In realtà, non sono a conoscenza di un singolo studio che afferma che una rete empirica non è una rete di piccoli mondi.

Sidenote: cosa guadagneresti?

Non sono a conoscenza di alcuna intuizione utile che può essere derivata da una rete essendo un piccolo mondo. L'affermazione che un certo tipo di rete è ben descritta da un certo modello di rete (ad esempio, il modello Watts-Strogatz) può essere utile per gli studi di modellistica, ma ciò va ben oltre la semplice rivendicazione del mondo piccolo.

^{Disclaimer completo: uno dei documenti sopra è dalla mia diretta vicinanza accademica.}

Un indice di piccole dimensioni può essere calcolato in "R" usando la funzione smallworldness nel pacchetto qgraph .

Questo si basa su: Humphries, MD e Gurney, K. (2008). Network " small-world-ness": un metodo quantitativo per determinare l'equivalenza canonica della rete . PLoS One, 3 (4), e0002051

Dal documento:

"Una rete è ora considerata un" piccolo mondo "se S> 1 - un'affermazione che può essere verificata statisticamente."