Distribuzione binomiale negativa vs distribuzione binomiale

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Qual è la differenza tra la distribuzione binomiale negativa e la distribuzione binomiale?

Ho provato a leggere online e ho scoperto che la distribuzione binomiale negativa viene utilizzata quando i punti dati sono discreti, ma penso che anche la distribuzione binomiale possa essere utilizzata per punti dati discreti.

— alily
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Sono entrambi discreti.

— Glen_b -Restate Monica

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Illustrazione semplice: stai vendendo caramelle porta a porta. Ad ogni porta a cui bussate, avete probabilità 1/4 di vendere 1 candy bar e probabilità 3/4 o vendere 0 candy bar. La tua probabilità di vendere n bar se bussi a 50 porte è una distribuzione binomiale in n. La tua probabilità di dover bussare alla porta per vendere 30 bar è una distribuzione binomiale negativa in m. Nota che il primo si interrompe a 50 perché non puoi vendere più di 50 bar, mentre il secondo ha una coda all'infinito perché potresti avere una terribile fortuna quel giorno e non vendere mai il 30 ° bar.

— Jerry Guern,

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La differenza è ciò che ci interessa. Entrambe le distribuzioni sono costruite da prove indipendenti di Bernoulli con probabilità fissa di successo, p .

Con la distribuzione binomiale, la variabile casuale X è il numero di successi osservati in n studi. Poiché esiste un numero fisso di prove, i possibili valori di X sono 0, 1, ..., n .

Con la distribuzione binomiale negativa, la variabile casuale Y è il numero di prove fino osservato la r si osserva th successo. In questo caso, abbiamo continuare ad aumentare il numero di prove fino ad arrivare r successi. I possibili valori di Y sono r , r + 1 , r + 2 , ... senza limite superiore. Il binomio negativo può anche essere definito in termini di numero di errori fino a quando il r ° successo, al posto del numero di prove fino a quando il r ° successo. Wikipedia definisce la distribuzione binomiale negativa in questo modo.

Quindi per riassumere:

Binomiale :

Numero fisso di prove ( n )
Probabilità di successo fissa ( p )
La variabile casuale è X = Numero di successi.
I valori possibili sono 0 ≤ X ≤ n

Binomio negativo :

Numero fisso di successi ( r )
Probabilità di successo fissa ( p )
La variabile casuale è Y = Numero di prove fino al r successo.
I valori possibili sono r ≤ Y

Grazie a Ben Bolker per avermi ricordato di menzionare il supporto delle due distribuzioni. Ha risposto a una domanda correlata qui .

— Jelsema
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ulteriori discussioni su NB qui: stats.stackexchange.com/questions/6728/… . Vale la pena notare che le risposte binomiali sono limitate [0, N], NB le risposte sono illimitate [0, ...]

— Ben Bolker

Bene, ho aggiornato la mia risposta per includerla.

— Jelsema,

grazie jelsema per la risposta dettagliata, ora potrei capirlo meglio

— alleato

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La distribuzione binomiale negativa, nonostante una relazione apparentemente ovvia con il binomio, è in realtà migliore rispetto alla distribuzione di Poisson. Tutti e tre sono discreti, a proposito.

$\lambda$ $\lambda$

Se i tuoi dati suggeriscono che la varianza è maggiore della media (sovradispersione), questo esclude Poisson, quindi il binomio negativo sarebbe una distribuzione successiva da guardare. Ha più di un parametro, quindi la sua varianza può essere maggiore della media.

La relazione tra NB e binomiale deriva dal processo sottostante, come è stato descritto nella risposta di @ Jelsema. Il processo è correlato, quindi anche le distribuzioni, ma come ho spiegato qui, il collegamento alla distribuzione di Poisson è più vicino nelle applicazioni pratiche.

AGGIORNAMENTO: Un altro aspetto è la parametrizzazione. La distribuzione binomiale ha due parametri: p e n. Il dominio in buona fede va da 0 a n. In questo non è solo discreto, ma anche definito su un insieme finito di numeri.

$\lambda$ $n$

— Aksakal
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Non capisco cosa intendi per "meglio rispetto alla distribuzione di Poisson". La domanda originale non dice che tipo di modellazione è desiderata. Non implica nemmeno che si sia interessati a modellare.

— heropup

@heropup, OP è chiaramente interessato alle applicazioni e confronta direttamente NB con Binomial. Quindi, la mia risposta riguarda questo confronto e quel confronto con Poisson è più rilevante nelle applicazioni tipiche.

— Aksakal,

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Sono entrambi discreti e rappresentano i conteggi durante il campionamento.

$D$ $N$ $S = ( DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN)$ .

Poiché il binomio negativo rappresenta il numero di guasti fino a quando non si ottiene un certo numero di successi. Considera lo stesso esempio e supponi che l'esperimento sia quello di campionare gli oggetti in modo casuale fino a quando non viene osservato un articolo difettoso. Quindi lo spazio di esempio per questo caso è $S = ( D,ND,NND,NNND,... )$ .

Quindi il binomio conta i successi in un numero fisso di prove, mentre il binomio negativo conta i fallimenti fino al successo di un numero fisso, ma per entrambi stiamo disegnando con la sostituzione, il che significa che ogni prova ha una probabilità fissa $p$ di successo.

— Bahgat Nassour
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