Come dimostrare che uno stimatore è coerente?

È sufficiente mostrare che MSE = 0 come ? Ho anche letto nei miei appunti qualcosa sul plim. Come trovo il plim e lo uso per dimostrare che lo stimatore è coerente? $n\rightarrow\infty$

estimation convergence consistency

— Pazienza
fonte

EDIT: risolti piccoli errori.

Ecco un modo per farlo:

Uno stimatore di (chiamiamolo ) è coerente se converge in probabilità a . Usando la tua notazione $\theta$ $T_n$ $\theta$

$\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$ .

Convergenza in probabilità, matematicamente, significa

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$ per tutti $\epsilon>0$ .

Il modo più semplice per mostrare la convergenza in probabilità / coerenza è invocare la disuguaglianza di Chebyshev, che afferma:

$P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

Così,

$P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

E quindi devi mostrare che va a 0 come . $E(T_n - \theta)^2$ $n\rightarrow\infty$

EDIT 2 : quanto sopra richiede che lo stimatore sia almeno asintoticamente imparziale. Come sottolinea G. Jay Kerns, considera lo stimatore (per stimare la media ). è distorto sia per finito che asintoticamente, e come . Tuttavia, non è uno stimatore coerente di . $T_n = \bar{X}_n+3$ $\mu$ $T_n$ $n$ $\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $T_n$ $\mu$

MODIFICA 3 : vedi i punti del cardinale nei commenti qui sotto.

@ G.JayKerns La non parzialità non è necessaria per questo. Considera . è uno stimatore distorto della deviazione standard ma è possibile utilizzare l'argomento sopra per dimostrare che è coerente.

S_{n} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X_{n}})^{2}}

$S_n = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X_n})^2}$

S_{n}

$S_n$

Sembra buono (+1); e cancellerò i miei commenti precedenti.

@ G.JayKerns I tuoi commenti sono stati un'aggiunta necessaria. Dobbiamo sempre assicurarci di essere consapevoli delle ipotesi su cui stiamo lavorando.

@MikeWierzbicki: penso che dobbiamo stare molto attenti, in particolare con ciò che intendiamo per asintoticamente imparziale . Esistono almeno due concetti diversi che spesso ricevono questo nome ed è importante distinguerli. Si noti che non è vero in generale che uno stimatore coerente è asintoticamente imparziale nel senso che anche quando la media esiste per tutti . Molte persone chiamano convergenza imparzialità nel limite o imparzialità approssimativa ... (cont.)

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

n

$n$

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

— cardinale

Ovviamente, affinché uno stimatore coerente sia distorto nel limite, la convergenza in deve fallire poiché dove .

L_{2}

$L_2$

E (T_{n} - θ)^{2} = V a r (T_{n}) + (θ_{n} - θ)^{2}

$\mathbb E(T_n - \theta)^2 = \mathrm{Var}(T_n) + (\theta_n - \theta)^2$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

— cardinale