Due definizioni di p-value: come dimostrare la loro equivalenza?

Sto leggendo il libro di Larry Wasserman, All of Statistics , e attualmente sui valori p (pagina 187). Vorrei prima introdurre alcune definizioni (cito):

Definizione 1 La funzione di potenza di un test con regione di rifiuto è definita da La dimensione di un test è definita come Si dice che un test abbia livello \ alpha se la sua dimensione è minore o uguale \ alpha .$R$

$$\beta(\theta)=P_{\theta}(X\in R)$$ $$\alpha = \sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta)$$ $\alpha$$\alpha$

Questo in pratica dice che $\alpha$ , la dimensione è la probabilità "più grande" di un errore di tipo I. Il valore $p$ viene quindi definito tramite (I quote)

Definizione 2 Supponiamo che per ogni $\alpha\in(0,1)$ abbiamo un test size $\alpha$ con regione di rifiuto $R_\alpha$ . Quindi,

$$p\text{-value}=\inf\{\alpha:T(X^n)\in R_\alpha\}$$ dove $X^n=(X_1,\dots,X_n)$ .

Per me questo significa: dato un \ alpha specifico $\alpha$c'è una regione di test e rifiuto $R_\alpha$ modo che $\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_{0}(\alpha)}P_\theta(T(X^n)\in R_\alpha)$ . Per il valore $p$ prendo semplicemente il più piccolo di tutti questi $\alpha$ .

Domanda 1 Se questo fosse il caso, allora potrei chiaramente scegliere $\alpha = \epsilon$ per arbitrariamente piccolo $\epsilon$ . Qual è la mia interpretazione errata della definizione 2, ovvero cosa significa esattamente?

Ora Wasserman continua e afferma un teorema per avere una definizione "equivalente" di $p$ -value con cui ho familiarità (cito):

Teorema Supponi che la dimensione test abbia la forma Quindi, dove è il valore osservato di .$\alpha$

$$\text{reject } H_0 \iff T(X^n)\ge c_\alpha$$ $$p\text{-value} = \sup_{\theta\in\Theta_0}P_{\theta}(T(X^n)\ge T(x^n))$$ $x^n$$X^n$

Quindi, ecco la mia seconda domanda:

Domanda 2 Come posso effettivamente dimostrare questo teorema? Forse è dovuto al mio fraintendimento della definizione del valore , ma non riesco a capirlo.$p$

Abbiamo alcuni dati multivariati , tratti da una distribuzione con alcuni parametri sconosciuti . Si noti che sono risultati di esempio.$x$$\mathcal{D}$$\theta$$x$

Vogliamo testare alcune ipotesi su un parametro sconosciuto , i valori di sotto l'ipotesi nulla sono nell'insieme .$\theta$$\theta$$\theta_0$

Nello spazio della , possiamo definire una regione di rifiuto , e la potenza di questa regione viene quindi definita come . Quindi la potenza viene calcolata per un particolare valore di come probabilità che il risultato del campione sia nella regione di rifiuto quando il valore di è . Ovviamente la potenza dipende dalla regione e dal scelto .$X$$R$$R$$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R=P_\bar{\theta}(x \in R)$$\bar{\theta}$$\theta$$x$$R$ $\theta$$\bar{\theta}$$R$$\bar{\theta}$

La definizione 1 definisce la dimensione della regione$R$ come supremo di tutti i valori di per in , quindi solo per i valori di sotto . Ovviamente questo dipende dalla regione, in modo .$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R$$\bar{\theta}$$\theta_0$$\bar{\theta}$$H_0$$\alpha^R=sup_{\bar{\theta} \in \theta_0} \mathcal{P}_\bar{\theta}^R$

Dato che dipende da abbiamo un altro valore quando la regione cambia, e questa è la base per definire il valore p: cambia la regione, ma in modo tale che il valore osservato del campione appartenga ancora alla regione, per ciascuna di queste regioni, calcolare il come sopra definito e prendere l'estremo inferiore: . Quindi il valore p è la dimensione più piccola di tutte le regioni che contengono .$\alpha^R$$R$$\alpha_R$$pv(x)=inf_{R |_{x \in R}} \alpha^R$$x$

Il teorema è quindi solo una sua "traduzione", vale a dire il caso in cui le regioni sono definite usando una statistica e per un valore si definisce una regione come . Se usi questo tipo di regione nel ragionamento sopra, il teorema segue.$R$$T$$c$$R$$R=\{ x | T(x) \ge c \}$$R$

MODIFICA a causa di commenti:

@ user8: per il teorema; se si definiscono le regioni di rifiuto come nel teorema, una regione di rifiuto di dimensioni è un insieme che assomiglia a per alcuni .$\alpha$$R^\alpha= \{X | T(X) \ge c_\alpha \}$$c_\alpha$

Per trovare il valore p di un valore osservato , ovvero devi trovare la regione più piccola , ovvero il valore più grande di tale che contiene ancora , quest'ultima (la regione contiene ) è equivalente (a causa del modo in cui le regioni sono definite) a dire che , quindi devi trovare il più grande tale che$x$$pv(x)$$R$$c$$\{X | T(X) \ge c \}$ $x$$x$$c \ge T(x)$$c$$\{X | T(X) \ge c \& c \ge T(x) \}$

Ovviamente, il più grande tale che dovrebbe essere e quindi il set supra diventa$c$$c \ge T(x)$$c = T(x)$$\{ X | T(X) \ge c = T(x)\}=\{ X | T(X) \ge T(x)\}$

Nella definizione 2, il valore di una statistica test è il limite inferiore più grande di tutto tale che l'ipotesi venga respinta per un test di dimensione . Ricordiamo che più piccolo facciamo , meno tolleranza stiamo tollerando per l'errore di tipo I, quindi diminuirà anche la regione di rifiuto . Quindi (molto) informalmente parlando, il -value è il più piccolo che possiamo scegliere che ci consente ancora di rifiutare per i dati che abbiamo osservato. Non possiamo scegliere arbitrariamente un più piccolo perché ad un certo punto,$p$$\alpha$$\alpha$$\alpha$$R_\alpha$$p$$\alpha$$H_0$$\alpha$$R_\alpha$ sarà così piccolo da escludere (ovvero non riuscire a contenere) l'evento che abbiamo osservato.

Ora, alla luce di quanto sopra, vi invito a riconsiderare il teorema.