Dimezzare una variabile casuale discreta?

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Sia una variabile casuale discreta che prende i suoi valori in . Vorrei dimezzare questa variabile, cioè trovare una variabile casuale come: $X$ $\mathbb{N}$ $Y$

X = Y + Y^{*}

$X = Y + Y^*$

dove è una copia indipendente di . $Y^*$ $Y$

Mi riferisco a questo processo come dimezzamento ; questa è una terminologia inventata. C'è un termine appropriato trovato in letteratura per questa operazione?
Mi sembra che tale esista sempre solo se accettiamo probabilità negative. Sono corretto nella mia osservazione? $Y$
C'è una nozione di migliore adattamento positivo per ? Qualunque sia la variabile casuale che sarebbe la "più vicina" per risolvere l'equazione sopra. $Y$

Grazie!

random-variable

— Joannes Vermorel
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Nei casi in cui non è possibile "dimezzare" esattamente, ci sono più possibili definizioni di "più vicino"; dipende da cosa vuoi ottimizzare.

— Glen_b -Restate Monica

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Una nozione fortemente correlata a questa proprietà (se più debole) è la decomposibilità . Una legge scomposta è una distribuzione di probabilità che può essere rappresentata come la distribuzione di una somma di due (o più) variabili casuali indipendenti non banali. (E una legge indecomposibile non può essere scritta in questo modo. Il "o più" è decisamente irrilevante.) Una condizione necessaria e sufficiente per la decomposizione è che la funzione caratteristica è il prodotto di due (o più) funzioni caratteristiche.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Non so se la proprietà che consideri abbia già un nome nella teoria della probabilità, forse collegata a una divisibilità infinita . Che è una proprietà molto più forte di , ma che include questa proprietà: tutti i camper infinitamente divisibili soddisfano questa decomposizione. $X$

Una condizione necessaria e sufficiente per questa "divisibilità primaria" è che la radice della funzione caratteristica è di nuovo una funzione caratteristica.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Nel caso di distribuzioni con supporto intero, ciò accade raramente poiché la funzione caratteristica è un polinomio in . Ad esempio, una variabile casuale di Bernoulli non è scomponibile. $\exp\{it\}$

Come sottolineato nella pagina Wikipedia sulla decomposibilità , esistono anche distribuzioni assolutamente continue che non sono scomponibili, come quella con densità

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2 π}} \exp {- x^{2} / 2}

$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$

Nel caso in cui la funzione caratteristica di sia valutata in modo reale, si può usare il teorema di Polya : $X$

Teorema di Pólya. Se φ è una funzione continua, pari, con valore reale, che soddisfa le condizioni
φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,
allora φ è la funzione caratteristica di una distribuzione simmetrica assolutamente continua.

$\varphi^{1/2}$ $X$

— Xi'an
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Ci sono alcuni casi speciali in cui questo è vero, ma per una variabile casuale discreta arbitraria , il tuo "dimezzamento" non è possibile.

$(n,p)$ $(2n,p)$ $(2n,p)$
$(2n+1,p)$
$(2n,p)$
$(\lambda)$ $(2\lambda)$ $(\lambda)$ $(\frac{\lambda}{2})$ $(\lambda)$ $n$ $2^n$ $\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$

— Dilip Sarwate
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+1 Il mio ricordo è che l'uniforme discreta è un caso particolare in cui non è possibile (credo che ce ne siano molti altri, ma è quello che ho visto).

— Glen_b -Restate Monica

In effetti, una distribuzione uniforme è scomposta ma non divisibile nel senso sopra indicato.

— Xi'an,

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La distribuzione di Poisson è un esempio di distribuzione infinitamente divisibile, quindi può essere divisa in una somma di un numero arbitrario di variate iid.

— Xi'an,

-1

$\frac{1}{2}$

Per rispondere alle tue domande,

$X$ $X$
$Y,Y^*$ $X$ $\lambda$ $Y$ $Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$ $X$
non ne ho visto nessuno e non riesco a immaginare come formalizzare un adattamento così ottimale . Di solito, le approssimazioni alle variabili casuali sono misurate da una norma sullo spazio delle variabili casuali. Non riesco a pensare ad approssimazioni di variabili casuali da o a variabili non casuali.

Spero di poterti aiutare.

— mattd
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