Spiega come `eigen` aiuta a invertire una matrice

La mia domanda riguarda una tecnica di calcolo sfruttata in geoR:::.negloglik.GRFo geoR:::solve.geoR.

In una configurazione lineare mista: dove e sono rispettivamente gli effetti fissi e casuali. Inoltre,

$$Y=X\beta+Zb+e$$ $\beta$$b$$\Sigma=\text{cov}(Y)$

Quando si stimano gli effetti, è necessario calcolare che normalmente può essere fatto usando qualcosa di simile , ma a volte è quasi non invertibile, quindi usa il trucco

$$(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}X'\Sigma^{-1} Y$$ solve(XtS_invX,XtS_invY)$(X'\Sigma^{-1}X)$geoR

t.ei=eigen(XtS_invX)
crossprod(t(t.ei$vec)/sqrt(t.ei$val))%*%XtS_invY

(può essere visto in geoR:::.negloglik.GRFe geoR:::.solve.geoR) che equivale a decomposizione dove e quindi

$$(X'\Sigma^{-1}X)=\Lambda D \Lambda^{-1}\\ $$ ( X ' Σ - 1 X ) - 1 = ( D - 1 / 2 Λ - 1 ) ' ( D - 1 / 2 Λ - 1$\Lambda'=\Lambda^{-1}$ $$(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}=(D^{-1/2}\Lambda^{-1})'(D^{-1/2}\Lambda^{-1})$$

Due domande:

1. In che modo questa decomposizione degli automi aiuta a invertire ?$(X'\Sigma^{-1}X)$
2. Esistono altre alternative praticabili (robuste e stabili)? (es. qr.solveo chol2inv?)

1) La composizione elettronica non aiuta molto. È certamente più numericamente stabile di una fattorizzazione di Cholesky, che è utile se la tua matrice è mal condizionata / quasi singolare / ha un numero di condizione elevato. Quindi puoi usare la composizione elettronica e ti darà una soluzione al tuo problema. Ma c'è poca garanzia che sarà la soluzione GIUSTA . Onestamente, una volta invertito esplicitamente , il danno è già stato fatto. Formare peggiora le cose. La composizione elettronica ti aiuterà a vincere la battaglia, ma la guerra è sicuramente persa.X T Σ - 1$\Sigma$$X^T \Sigma^{-1} X$

2) Senza conoscere i dettagli del tuo problema, questo è quello che farei. In primo luogo, eseguire una fattorizzazione di Cholesky su in modo che . Quindi eseguire una fattorizzazione QR su modo che . Si prega di essere sicuri di calcolare con la sostituzione in avanti - NON esplicitamente invertito . Quindi ottieni: Da qui puoi risolvere qualsiasi lato destro che desideri. Ma ancora$\Sigma$$\Sigma = L L^T$$L^{-1} X$$L^{-1} X = QR$$L^{-1} X$$L$

$$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} X & = & X^T (L L^T)^{-1} X \\ & = & X^T L^{-T} L^{-1} X \\ & = & (L^{-1} X)^T (L^{-1} X) \\ & = & (Q R)^T Q R \\ & = & R^T Q^T Q T \\ & = & R^T R \end{array}$$ $R$(o ). Utilizzare le sostituzioni avanti e indietro se necessario.$R^T R$

A proposito, sono curioso del lato destro della tua equazione. Lei ha scritto che si tratta di . Sei sicuro che non sia ? Se così fosse, potresti usare un trucco simile sul lato destro: E poi puoi consegnare il coup de grâce quando vai a risolvere per : $X^T \Sigma Y$$X^T \Sigma^{-1} Y$

$$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} Y & = & X^T (L L^T)^{-1} Y \\ & = & X^T L^{-T} L^{-1} Y \\ & = & (L^{-1} X)^T L^{-1} Y \\ & = & (Q R)^T L^{-1} Y \\ & = & R^T Q^T L^{-1} Y \end{array}$$ $\beta$ $$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} X \beta & = & X^T \Sigma^{-1} Y \\ R^T R \beta & = & R^T Q^T L^{-1} Y \\ R \beta & = & Q^T L^{-1} Y \\ \beta & = & R^{-1} Q^T L^{-1} Y \end{array}$$ $R$per l'ultimo passaggio, giusto? Questa è solo una sostituzione arretrata. :-)