Dimostrare / Disprovare

Dimostrare / Disprovare $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

Dato uno spazio di probabilità filtrato , lascia . $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$ $A \in \mathscr{F}$

Supponiamo che consegue cheChe dire di ?

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 1 a.s.

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$

E [1_{A} | F_{s}] = E [1_{A} | F_{t}] a.s. \forall s > t ?

$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$

\forall s < t

$\forall s < t$

Cosa succede se invece

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 0 a.s. ?

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$ O se

E [1_{A} | F_{t}] = p a.s. for some p \in (0, 1) ?

$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$

Cosa ho provato:

Se $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$ , allora $\Bbb E[1_A]=1$ , che $1_A=1$ (quasi sicuramente). In questo caso $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$ (quasi sicuramente) per ogni $s$ .

Allo stesso modo, se $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$ , allora $\Bbb E[1_A]=0$ , che $1_A=0$ (quasi sicuramente). In questo caso $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$ (quasi sicuramente) per ogni $s$ .

Se $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$ , per una costante $p\in(0,1)$ , allora abbiamo

$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$ . Questo potrebbe non riuscire se $s>t$ .

In alternativa per $= p$ case:

Sia $F$ una variabile casuale misurabile $\mathscr F_t$ .

E [1_{A} \cdot F] = E [E [1_{A} \cdot F | F_{t}]] = E [F \cdot E [1_{A} | F_{t}]]

$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$

= E [p \cdot F] = p E [F] = E [1_{A}] \cdot E [F]

$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$

nel senso che e sono indipendenti. In altre parole, e sono indipendenti. Quindi anche e sono indipendenti se e quindi . Questo potrebbe non riuscire se . $1_A$ $F$ $\sigma(A)$ $\mathscr F_t$ $\sigma(A)$ $\mathscr F_s$ $s<t$ $E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$ $s>t$

Immagino che l'idea sia che una costante sia indipendente da e misurabile $\mathscr F_s$ $\mathscr F_s$ .

— BCLC
fonte

Il tuo argomento sembra essere valido, ma inizi partendo dal presupposto che . Tuttavia, la domanda afferma che , che vorrei prendere per dire che la variabile casuale accetta i valori nell'insieme ovvero dove . La proprietà che definisce questa aspettativa condizionale è che per tutte le . In particolare, prendere porta a , da cui possiamo concludere che $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$ $E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]$ $\{0, 1\}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$ $B\in\mathscr{F_t}$ $\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$ $F\in\mathscr{F_t}$ $F=B$ $P(B)=P(A\cap B)$ $B\subset A$ (tranne possibilmente su un insieme di probabilità zero). Tuttavia, sappiamo anche (come nell'argomento che hai scritto) che cioè , quindi l'unica conclusione possibile è che (tranne forse per un insieme di probabilità zero). $E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$ $P(A)=P(B)$ $A=B$

Per , , quindi la legge della torre per le aspettative condizionali implica che . Ma , quindi . Quindi tutte le aspettative condizionali per sono uguali (a ). Per , se avremo comunque . D'altra parte, se torniamo a un tempo in cui non è in , allora non penso che si possa dire nulla $s\gt t$ $\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $s>t$ $1_A$ $s<t$ $A\in\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $A$ $\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]$ in generale. Per un esempio concreto, vedere questo documento , Figura 1. Prendendo , ad esempio, si dà la sequenza delle aspettative condizionali , , , . $A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$ $E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$ $E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$ $E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$ $E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$

— S. Catterall Ripristina Monica
fonte

Grazie S. Catterall. Come fai a sapere 1 ? 2 ? Anche andando a modificare la domanda. Ci scusiamo per l'inconveniente.

P (B) = P (A \cup B) \to B \subseteq A

$P(B) = P(A \cup B) \to B \subseteq A$

E [1_{A} | F_{t}] = 1_{A}

$E[1_A | \mathscr{F}_t] = 1_A$

— Userò

Vorrei provare a riassumere in linguaggio naturale; una filtrazione corrisponde a una suddivisione sempre più fine dello spazio degli esiti e l'attesa condizionale dell'evento elementi successivi della filtrazione ("quando più informazioni diventano disponibili") diventa più acuta attorno all'evento (allo stato iniziale delle informazioni è solo la distribuzione uniforme). Il tempo di arresto è la superficie impostata del livello stocastico del processo (nel documento, la variabile di risultato è binaria ed è stato scelto il valore ).

A

$A$

F_{0}

$\mathscr{F}_0$

0

$0$

— Ocramz,

@ocramz e S. Catterall, terminato il montaggio. Come va? ^ - ^

— BCLC,

In questa immagine, se stiamo misurando l'evento , ma il processo di esempio termina in una configurazione che non appartiene ad , diventa effettivamente "inconoscibile" (misura ). Questa descrizione è corretta? Inoltre, come si comportano le aspettative condizionali in tempi consecutivi, mi ricorda il processo iterativo di Bayes, esiste una connessione tra questi concetti? @S. Catterall

A

$A$

ω_{i}

$\omega_i$

A

$A$

A

$A$

0

$0$

— ocramz,

In risposta alle domande del tuo primo commento: se , allora, poiché è un'unione disgiunta di e dobbiamo avere , che significa che come Now, allo stesso modo, possiamo usare per concludere che come

P (B) = P (A \cap B)

$P(B) = P(A \cap B)$

B

$B$

A \cap B

$A\cap B$

A^{c} \cap B

$A^c\cap B$

P (A^{c} \cap B) = 0

$P(A^c\cap B)=0$

B \subset A

$B\subset A$

P (A) = P (B)

$P(A)=P(B)$

A = B \in F_{t}

$A=B\in \mathscr{F_t}$

— S. Catterall Ripristina Monica il