Perché una matrice di proiezione di una proiezione ortogonale è simmetrica?

Sono abbastanza nuovo per questo, quindi spero che tu mi perdoni se la domanda è ingenua. (Contesto: sto imparando l'econometria dal libro di Davidson e MacKinnon "Teoria e metodi econometrici" , e non sembrano spiegarlo; ho anche guardato il libro di ottimizzazione di Luenberger che tratta le proiezioni a un livello un po 'più avanzato, ma senza fortuna).

Supponiamo che ho una proiezione ortogonale con è associato proiezione matrice . Sono interessato a proiettare ogni vettore in in un sottospazio . P R n A ⊂ R$\mathbb P$$\bf P$$\mathbb{R}^n$$A \subset \mathbb{R}^n$

Domanda : perché segue che , cioè è simmetrico? Quale libro di testo posso consultare per questo risultato?T$\bf{P}=P$$^T$$\bf P$

Questo è un risultato fondamentale dell'algebra lineare sulle proiezioni ortogonali. Un approccio relativamente semplice è il seguente. Se sono vettori ortonormali che abbracciano un sottospazio m -dimensionale A , e U è la matrice con le come colonne, quindi Ciò deriva direttamente dal fatto che la proiezione ortogonale di su può essere calcolata in termini di base ortonormale di come $u_1, \ldots, u_m$$m$$A$$\mathbf{U}$u i P = U U T . x A A m ∑ i = 1 u i u T i x . P 2 = P P T = P$n \times p$$u_i$

$$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$$ $x$$A$$A$ $$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$$ Segue direttamente dalla formula sopra che e che$\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

È anche possibile fornire un argomento diverso. Se è una matrice di proiezione per una proiezione ortogonale, allora, per definizione, per tutti Di conseguenza, per tutti . Ciò mostra che , da cui x , y ∈ R n P x ⊥ y - P y . 0 = ( P x ) T ( y - P y ) = x T P T ( I - P ) y = x T ( P T - P T P ) y x , y ∈ R n P T = $\mathbf{P}$$x,y \in \mathbb{R}^n$

$$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$$
$$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$$ $x, y \in \mathbb{R}^n$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$ $$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$$

Un tentativo di intuizione geometrica ... Ricordiamo che:

1. Una matrice simmetrica è autoaggiunta.
2. Un prodotto scalare è determinato solo dai componenti nello spazio lineare reciproco (e indipendente dai componenti ortogonali di uno qualsiasi dei vettori).

$x$$A$$y$$\langle x,Ay \rangle$$x$$y$$\langle Ax,Ay \rangle$$\langle Ax,y\rangle$

$A$