Derivata di un processo gaussiano

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Credo che la derivata di un processo gaussiano (GP) sia un altro GP, e quindi vorrei sapere se ci sono equazioni in forma chiusa per le equazioni di previsione della derivata di un GP? In particolare, sto usando il kernel di covarianza esponenziale quadrata (chiamato anche gaussiano) e voglio sapere come fare previsioni sul derivato del processo gaussiano.

stochastic-processes  gaussian-process  derivative 
Cosa intendi per derivato del GP? generi casualmente una curva da BP, , e poi prendi la derivata? x(t)
— Placidia,
@Placidia, no intendo calcolare , che a mio avviso dovrebbe essere un altro processo gaussiano∂x(t)∂t
Buona domanda. Tuttavia, mi sembra di ricordare che il moto browniano è sia un GP che in nessun caso differenziabile. Quindi non sono sicuro che ci possa essere un'espressione generica. Naturalmente x (t) -x (th) dovrebbe essere un gaussiano, quindi dovrebbe essere possibile, data la funzione di covarianza, pensare alle probabilità al riguardo per una data h.
— congetture il
@conjectures, ecco perché ho detto specificamente che ho un GP in cui la funzione del kernel è l'esponenziale quadrata (poiché so che quella è infinitamente differenziabile) e nel mio esempio cercavo davvero solo il caso derivato. Ma buon punto comunque!

Risposte:

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La risposta breve: Sì, se il tuo processo gaussiano (GP) è differenziabile, la sua derivata è di nuovo un GP. Può essere gestito come qualsiasi altro GP e puoi calcolare le distribuzioni predittive.

Ma poiché un GP e il suo derivato G ′ sono strettamente correlati, è possibile inferire le proprietà di entrambi.GG′

  1. Esistenza di G′

Un GP a media zero con funzione di covarianza è differenziabile (nel quadrato medio) se K ′ ( x 1 , x 2 ) = ∂ 2 KKesiste. In quel caso la funzione di covarianza diG′è uguale aK′. Se il processo non è a media zero, anche la funzione media deve essere differenziabile. In questo caso la funzione medio diG'è la derivata della funzione medio diG.K′(x1,x2)=∂2K∂x1∂x2(x1,x2)G′K′G′G

(Per ulteriori dettagli, consultare ad esempio l'Appendice 10A di A. Papoulis "Probabilità, variabili casuali e processi stocastici")

Poiché il kernel esponenziale gaussiano è differenziabile di qualsiasi ordine, questo non è un problema per te.

  1. Distribuzione predittiva per G′

G′

G′GG

G′GGK′

— gg
fonte
Non capisco la tua domanda. Esiste una formula esplicita per la funzione di covarianza e la funzione media di cui sopra (e in 9.4 di Rasmussen / Williams). Dato che questo è tutto ciò che c'è da sapere e usare un medico, cos'altro potresti chiedere?
— gg
G′
È possibile che tu confonda la funzione media e i percorsi del processo? Si noti che la funzione media è più fluida dei percorsi e può essere differenziabile anche se il processo non lo è. Ma la funzione media è una funzione deterministica, non un processo, quindi non c'è varianza che può essere calcolata.
— gg
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