Correlazione intraclasse (ICC) per un'interazione?

Supponiamo che io abbia delle misurazioni per ogni soggetto in ciascun sito. Due variabili, soggetto e sito, sono interessanti in termini di calcolo dei valori di correlazione intraclasse (ICC). Tipicamente userei la funzione lmerdal pacchetto R lme4, ed eseguivo

lmer(measurement ~ 1 + (1 | subject) + (1 | site), mydata)

I valori ICC possono essere ottenuti dalle varianze per gli effetti casuali nel modello sopra.

Tuttavia, di recente ho letto un articolo che mi ha davvero confuso. Usando l'esempio sopra, gli autori hanno calcolato tre valori ICC nel documento con la funzione lme dal pacchetto nlme: uno per soggetto, uno per sito e uno per l'interazione tra soggetto e sito. Non sono stati forniti ulteriori dettagli nel documento. Sono confuso dalle seguenti due prospettive:

1. Come calcolare i valori ICC con lme? Non so come specificare questi tre effetti casuali (soggetto, sito e loro interazione) in lme.
2. È davvero significativo considerare l'ICC per l'interazione tra soggetto e sito? Dalla modellazione o dalla prospettiva teorica, puoi calcolarlo, ma concettualmente ho difficoltà a interpretare una tale interazione.

La formula del modello R.

lmer(measurement ~ 1 + (1 | subject) + (1 | site), mydata)

si adatta al modello

$$Y_{ijk} = \beta_0 + \eta_{i} + \theta_{j} + \varepsilon_{ijk}$$

dove è il k 'esimo di i in j , η i è l'oggetto i effetto casuale, θ j è il sito j effetto casuale e ε i j k è l'errore residuo. Questi effetti casuali hanno varianze σ 2 η , σ 2 θ , σ 2 ε che sono stimate dal modello. (Nota che se l'oggetto è nidificato all'interno del sito, tradizionalmente scrivi θ i $Y_{ijk}$$k$measurementsubject $i$site $j$$\eta_{i}$$i$$\theta_{j}$$j$$\varepsilon_{ijk}$$\sigma^{2}_{\eta}, \sigma^{2}_{\theta}, \sigma^{2}_{\varepsilon}$$\theta_{ij}$qui invece di ).$\theta_{j}$

Per rispondere alla tua prima domanda su come calcolare gli ICC: secondo questo modello, gli ICC sono la proporzione della variazione totale spiegata dal rispettivo fattore di blocco. In particolare, la correlazione tra due osservazioni selezionate casualmente sullo stesso argomento è:

$${\rm ICC}({\rm Subject}) = \frac{\sigma^{2}_{\eta}}{\sigma^{2}_{\eta}+ \sigma^{2}_{\theta}+\sigma^{2}_{\varepsilon}}$$

La correlazione tra due osservazioni selezionate casualmente dallo stesso sito è:

$${\rm ICC}({\rm Site}) = \frac{\sigma^{2}_{\theta}}{\sigma^{2}_{\eta}+ \sigma^{2}_{\theta}+\sigma^{2}_{\varepsilon}}$$

La correlazione tra due osservazioni selezionate casualmente sullo stesso individuo e sullo stesso sito (la cosiddetta ICC di interazione) è:

$${\rm ICC}({\rm Subject/Site \ Interaction}) = \frac{\sigma^{2}_{\eta}+\sigma^{2}_{\theta}}{\sigma^{2}_{\eta}+ \sigma^{2}_{\theta}+\sigma^{2}_{\varepsilon}}$$

${\rm ICC}$Subjectsite

Ognuna di queste quantità può essere stimata inserendo le stime di queste variazioni che escono dall'adattamento del modello.

${\rm ICC}$${\rm ICC}$

Subject ${\rm ICC}$Subjectsite$\sigma^{2}_{\eta}$site