distribuzione t con coda più pesante della distribuzione normale

Nei miei appunti di lezione dice:

la distribuzione a T sembra normale, sebbene con code leggermente più pesanti.

Capisco perché sembrerebbe normale (a causa del Teorema del limite centrale). Ma ho difficoltà a capire come dimostrare matematicamente che ha code più pesanti della distribuzione normale e se c'è un modo per misurare in che misura è più pesante della distribuzione normale.

La prima cosa da fare è formalizzare ciò che intendiamo per "coda più pesante". Si potrebbe teoricamente vedere quanto è alta la densità nella coda estrema dopo aver standardizzato entrambe le distribuzioni per avere la stessa posizione e scala (ad esempio deviazione standard):

(da questa risposta, che è anche in qualche modo rilevante per la tua domanda )

[In questo caso, il ridimensionamento non ha davvero importanza alla fine; la t sarà comunque "più pesante" della normale anche se si usano scale molto diverse; il normale alla fine si abbassa sempre]

Tuttavia, quella definizione - sebbene funzioni bene per questo particolare confronto - non si generalizza molto bene.

Più in generale, una definizione molto migliore è nella risposta di Whuber qui . Quindi se una coda più pesante di , poiché diventa sufficientemente grande (per tutte qualche ), allora , dove , dove è il cdf (per più pesante -coda a destra; c'è una definizione simile, ovvia dall'altra parte).$Y$$X$$t$$t>$$t_0$$S_Y(t)>S_X(t)$$S=1-F$$F$

Eccolo sulla scala logaritmica e sulla scala quantile della normale, che ci consente di vedere più dettagli:

Quindi la "prova" di una coda più pesante comporterebbe il confronto dei cdf e la dimostrazione che la coda superiore del t-cdf alla fine si trova sempre al di sopra di quella normale e la coda inferiore del t-cdf alla fine si trova sempre al di sotto di quella normale.

In questo caso la cosa facile da fare è confrontare le densità e quindi mostrare che la posizione relativa corrispondente dei cdf (/ funzioni di sopravvissuto) deve seguire da quella.

Ad esempio, se puoi argomentare che (in alcuni dati )$\nu$

$x^2 - (\nu+1) \log(1+\frac{x^2}{\nu}) > 2\cdot\log(k)\qquad^\dagger$

per la costante necessaria (una funzione di ν ), per tutti x > alcuni x 0 , sarebbe possibile stabilire una coda più pesante per t ν anche sulla definizione in termini di maggiore 1 - F (o maggiore F sulla coda sinistra).$k$$\nu$$x>$$x_0$$t_\nu$$1-F$$F$

(questa forma deriva dalla differenza del registro delle densità, se contiene la relazione necessaria tra le densità)$^\dagger$

[In realtà è possibile mostrarlo per qualsiasi (non solo quello particolare di cui abbiamo bisogno dalle costanti che normalizzano la densità), quindi il risultato deve valere per il k di cui abbiamo bisogno.]$k$$k$

$E\{x^n\}.$

Code "più pesanti" significheranno valori più alti per i momenti di potenza pari (potenza 4, 6, 8), quando la varianza è la stessa. In particolare, il momento del 4 ° ordine (intorno allo zero) è chiamato kurtosi e confronta in un certo senso la pesantezza delle code.

Vedi Wikipedia per i dettagli ( https://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis )

Ecco una prova formale basata sulle funzioni di sopravvivenza. Uso la seguente definizione di "coda più pesante" ispirata a Wikipedia :

$Y$$S_y(t)$$X$$S_x(t)$

$$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \infty$$

Considera una variabile casuale distribuita come t di Student con zero medio, gradi di libertà e parametro di scala . Confrontiamo questo con la variabile casuale . Per entrambe le variabili, le funzioni di sopravvivenza sono differenziabili. Perciò, $Y$$\nu$$a$$X\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

$$\begin{align*} \lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} &= \lim_{t\to\infty}\frac{f_y(t)}{f_x(t)} = \exp \lim_{t\to\infty}\left(\log f_y(t) - \log f_x(t)\right)\\ &=\exp \lim_{t\to\infty}\left(-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2\sigma^2}t^2-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}\frac{a^2}{\sigma^2}u - (\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u}+\frac{C}{u}\right)\right) \end{align*}$$ Dove abbiamo sostituito . Nota che è una costante, e Quindi dal teorema del limite algebrico, $u=t^2/a^2$$0<a^2/\sigma^2<\infty$$\lim_{u\to\infty} C/u = 0$ $$\lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u} = \lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)}{(1)(1+\frac{u}{\nu})(\nu)} = 0$$ $$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty} u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - (0) + (0)\right)\right) = \infty$$

È importante sottolineare che il risultato vale per valori arbitrari (finiti) di , e , quindi è possibile che si verifichino situazioni in cui la distribuzione presenta una varianza minore rispetto a una normale, ma con code più pesanti.$a$$\sigma^2$$\nu$