Qual è l'autocorrelazione per una passeggiata casuale?

Sembra davvero alto, ma questo è controintuitivo per me. Qualcuno può spiegare per favore? Sono molto confuso da questo problema e apprezzerei una spiegazione dettagliata e approfondita. Grazie mille in anticipo!

(L'ho scritto come una risposta a un altro post, che è stato contrassegnato come duplicato di questo mentre lo stavo componendo; ho pensato di postarlo qui invece di buttarlo via. Sembra che dica cose abbastanza simili a quelle di whuber risposta, ma è abbastanza diverso che qualcuno potrebbe ottenere qualcosa da questo.)

Una passeggiata casuale ha la forma$y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

Nota che$y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

Quindi .$\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

Si noti inoltre che$\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

Di conseguenza .$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

Vale a dire che dovresti vedere una correlazione di quasi 1 perché non appena inizia a diventare grande, e sono quasi esattamente la stessa cosa - la differenza relativa tra loro tende ad essere abbastanza piccola.y t y t - $t$$y_t$$y_{t-1}$

Puoi vederlo più facilmente tracciando vs .y t - $y_t$$y_{t-1}$

Ora possiamo vederlo in modo piuttosto intuitivo - immagina che sia sceso a (come vediamo nella mia simulazione di una camminata casuale con un normale rumore normale). Quindi sarà abbastanza vicino a ; potrebbe essere o potrebbe essere ma è quasi certo di trovarsi entro poche unità di . Così come la serie va alla deriva su e giù, la trama di vs sta per quasi sempre rimanere entro un certo intervallo ristretto del linea ... ancora come cresce i punti coprirà più grande e maggiore si estende lungo quel - 20 y t - 20 - 22 - 18.5 - 20 y t y t - 1 y = x t y = x $y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$$y_{t-1}$$y=x$$t$$y=x$linea (la diffusione lungo la linea cresce con , ma la diffusione verticale rimane approssimativamente costante); la correlazione deve avvicinarsi 1.$\sqrt{t}$

Nel contesto della domanda precedente , una "camminata casuale" è una realizzazione di una camminata casuale binomiale. L'autocorrelazione è la correlazione tra il vettore e il vettore degli elementi successivi .( x 0 , x 1 , … , x n - 1 ) ( x 1 , x 2 , … , x n$(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$

La costruzione stessa di una camminata casuale binomiale fa sì che ogni differisca da ogni di una costante. x $x_{i+1}$$x_i$ Dopo aver eseguito la camminata per un po ', i valori di saranno allontanati dal valore iniziale e quindi copriranno di solito un buon intervallo, tipicamente proporzionale a di lunghezza. Pertanto, il grafico a dispersione lag-1 delle coppie sarà costituito da punti che si trovano solo sulle linee , essendo in media vicino alla linea . I residui saranno vicini ax 0 $x_i$$x_0$ (xi,x i + 1 )y=x±1y=x±11($\sqrt{n}$$(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$$y=x$$\pm 1$. Pertanto, nella stragrande maggioranza delle realizzazioni, la varianza dei residui (circa ) rispetto alla varianza dei valori (approssimativamente nell'ordine di ) sarà piccola . Ci aspetteremmo che sia approssimativamente$1$R$(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$$R^2$

Ecco una foto di passi in una passeggiata casuale (a sinistra) e il suo diagramma di dispersione lag-1 (a destra). La codifica a colori viene utilizzata per aiutarti a trovare i punti corrispondenti nei due grafici. Si noti che è davvero molto vicino a in questo caso.R 2 1 - 4 /$n=1000$$R^2$$1 - 4/n$

Ecco il Rcodice che ha prodotto le immagini.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))