Come si prevede una categoria di risposta in base a un modello di regressione logistica ordinale?

Voglio prevedere un problema di salute. Ho 3 categorie di risultati ordinate: "normale", "lieve" e "grave". Vorrei prevederlo da due variabili predittive, un risultato del test (una covariata a intervalli continui) e una storia familiare con questo problema (sì o no). Nel mio campione, le probabilità sono del 55% (normale), 35% (lieve) e 10% (grave). In questo senso, potrei sempre prevedere "normale" ed avere ragione il 55% delle volte, anche se questo non mi darebbe alcuna informazione sui singoli pazienti. Mi adatto al seguente modello:

\begin{aligned} il punto di taglio per \hat{(y \geq 1)} & = - 2.18 \\ il punto di taglio per \hat{(y \geq 2)} & = - 4.27 \\ {\hat{β}}_{t e S t} & = 0.60 \\ {\hat{β}}_{f un' m io l y h io S t o r y} & = 1.05 \end{aligned}

$\begin{align} \text{the cut point for }\widehat{(y \ge 1)} &= -2.18 \\ \text{the cut point for }\widehat{(y \ge 2)} &= -4.27 \\ \hat\beta_{\rm test} &= 0.60 \\ \hat\beta_{\rm family\ history} &= 1.05 \end{align}$

Supponiamo che non ci siano interazioni e che tutto vada bene con il modello. La concordanza, c, è del 60,5%, che intendo essere la massima precisione predittiva offerta dal modello.

Mi imbatto in due nuovi pazienti con i seguenti dati: 1. test = 3.26, famiglia = 0; 2. test = 2.85, famiglia = 1. Voglio prevederne la prognosi. Utilizzando la formula: (e quindi prendendo le differenze tra le probabilità cumulative), posso calcolare la distribuzione della probabilità sulle categorie di risposta in base al modello. Codice R (nb, a causa di problemi di arrotondamento, l'output non corrisponde perfettamente):

\frac{\exp (- X β - c u t P o io n t)}{(1 + \exp (- X β - c u t P o io n t))}

$\frac{\exp(-X\beta - {\rm cutPoint})}{(1+\exp(-X\beta - {\rm cutPoint}))}$

cut1 <- -2.18
cut2 <- -4.27
beta <- c(0.6, 1.05)
X    <- rbind(c(3.26, 0), c(2.85, 1))

pred_cat1      <- exp(-1*(X%*%beta)-cut1)/(1+exp(-1*(X%*%beta)-cut1))
pred_cat2.temp <- exp(-1*(X%*%beta)-cut2)/(1+exp(-1*(X%*%beta)-cut2))
pred_cat3      <- 1-pred_cat2.temp
pred_cat2      <- pred_cat2.temp-pred_cat1

predicted_distribution <- cbind(pred_cat1, pred_cat2, pred_cat3)

Vale a dire: 1. 0 = 55.1%, 1 = 35.8%, 2 = 9.1%; e 2. 0 = 35,6%, 1 = 46,2%, 2 = 18,2%. La mia domanda è: come posso passare dalla distribuzione di probabilità a una categoria di risposta prevista?

Ho provato diverse possibilità usando i dati di esempio, in cui il risultato è noto. Se scelgo solo max (probabilità), la precisione è del 57%, un leggero miglioramento rispetto allo zero, ma al di sotto della concordanza. Inoltre, nel campione, questo approccio non sceglie mai "severo", che è quello che voglio davvero sapere. Ho provato un approccio bayesiano convertendo le probabilità null e del modello in probabilità e quindi selezionando il massimo (odds ratio). Questo a volte diventa 'grave', ma produce una precisione peggiore del 49,5%. Ho anche provato una somma delle categorie ponderate per probabilità e arrotondamento. Questo, ancora una volta, non sceglie mai "grave" e ha una bassa precisione del 51,5%.

Qual è l'equazione che prende le informazioni sopra e produce un'accuratezza ottimale (60,5%)?

logistic ordered-logit

— gung - Ripristina Monica
fonte

Risposte:

$Y$ rmslrmpredict.lrm

— Frank Harrell
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Grazie per l'aiuto. Sospettavo che la bassa frequenza di gravi fosse parte del problema. Penso che il mio Y grezzo, 0 1 2, non sia sufficientemente uguale intervallo. Raccolgo il mio obiettivo è sbagliato. Sfortunatamente, penso di voler sapere in quale categoria rientrerà un nuovo paziente / non capire pienamente quale dovrebbe essere il mio obiettivo . È possibile fornire ulteriori informazioni? (In realtà, sospetto che CV non sia il forum per una lezione completa; in alternativa, sai dove posso imparare su questo problema? Ho letto le sezioni da Intro di Agresti & Hosmer & Lemeshow's Logistic, ma senza risultati.)

— gung - Ripristina Monica

L'obiettivo è guidato dalla decisione necessaria o dall'argomento. Se dichiari l'obiettivo finale, potrei essere in grado di commentare.

— Frank Harrell,

Mi dispiace per la mia mancanza di chiarezza, sembra essere stato un problema anche sopra. Al momento, voglio essere in grado di prevedere il risultato per nuovi casi. A lungo termine, voglio capire meglio il registro, ad esempio come si ottengono i residui se non si hanno categorie previste? Raccolgo una precisione leggermente migliore è possibile, ma non so come ottenerlo. Sono sicuro che non hai tempo per spiegare tutto, ma né Agresti, né H&L dicono nulla su previsioni o residui, ecc. E non sono riuscito a trovare nulla con Google. Quindi, ho chiesto il CV. Apprezzo la tua continua assistenza.

— gung - Ripristina Monica

Y \geq j

$Y\geq j$ per vari

j

$j$ è un buon metodo e non richiede decisioni arbitrarie. Osservando l'istogramma delle probabilità previste è possibile giudicare l'utilità del modello, ovvero la frequenza con cui fornisce probabilità più definitive più vicine a 0 o 1 rispetto a 0,5.

— Frank Harrell,

-1

La concordanza viene definita controllando il punteggio medio, non il punteggio massimo.

Quindi, per i tuoi esempi, i punteggi medi per 1 sono 0 * 55,1% + 1 * 35,8% + 2 * 9,1% = 0,54 e 2 è (attraverso calcoli simili) 0,826.

È questo valore che dovresti confrontare per ottenere la concordanza o qualsiasi altra statistica dell'associazione.

Rif: http://support.sas.com/documentation/cdl/en/statug/63347/HTML/default/viewer.htm#statug_logistic_sect042.htm

— Kalel
fonte

No, la concordanza viene calcolata utilizzando la variabile di risultato non elaborata

Y

$Y$ e il predittore lineare

X β

$X\beta$ o una qualsiasi delle probabilità previste (dato che sono tutte monotonicamente correlate tra loro, cioè sono appena passate in intercetta prima di calcolare l'expit). Somers'

D_{x y}

$D_{xy}$ il coefficiente di correlazione dei ranghi utilizza questa misura di concordanza.

— Frank Harrell,

PS Nota che la documentazione SAS, che è una riscrittura della mia documentazione originale per il precursore che SAS PROC LOGISTho scritto molti anni fa, ora è errata e la sua formula per la media è errata a meno che

Y

$Y$ è costituito da numeri interi consecutivi.

— Frank Harrell,