Quali sono i valori previsti restituiti dalla funzione predict () in R quando si utilizzano i dati originali come input?

Dopo aver eseguito una regressione del modulo reg <- lm(y ~ x1 + x2, data=example)su un set di dati, posso ottenere i valori previsti utilizzando

predict(reg, example, interval="prediction", level=0.95)

Mi chiedo a cosa si riferiscano effettivamente i valori previsti quando sto usando la regressione per prevedere il set di dati effettivo. Non dovrei ottenere i valori originali?

Il modello con cui stai lavorando prende la forma

$y_{i} = \mu + \beta_{1} x_{1i} + \beta_{2} x_{2i} + \epsilon_{i}$ $\hspace{0.75cm}$ (1)

dove $\epsilon_{i}$ è un termine di errore che si presume provenga da una distribuzione normale a media zero.

Hai adattato il modello e hai ottenuto stime: , e . β 1 β$\hat{\mu}$$\hat{\beta}_{1}$$\hat{\beta}_{2}$

Ora, se si correggono i valori della covariata all'interno del loro intervallo, dire e , è possibile ottenere un valore previsto per calcolando x ⋆ 2 i y $x^{\star}_{1i}$$x^{\star}_{2i}$$y_{i}$

$y^{\star}_{i} = \hat{\mu} + \hat{\beta}_{1} x^{\star}_{1i} + \hat{\beta}_{2} x^{\star}_{2i}$ $\hspace{0.75cm}$ (2)

Se il tuo modello si adatta perfettamente ai tuoi dati, i valori previsti sono valori reali. Ma, in generale, i valori non possono essere ottenuti esattamente come una semplice combinazione lineare di valori (" Tutti i modelli sono sbagliati, ma alcuni sono utili "). In altri termini, la varianza del termine di errore in (1) non è zero in generale. Ma, fondamentalmente, il modello (1) è una buona approssimazione se i residui (o una versione in scala di questi) sono "piccoli".x y i - y ⋆ $y$$x$$y_{i} - y_{i}^{\star}$

modificare

Nei tuoi commenti, hai chiesto cosa predict()effettivamente fa. Ecco un semplice esempio illustrativo.

    #generate a simple illustrative data set
> x <- runif(10)
> y <- 5 + 2.7 * x + rnorm(10, mean=0, sd=sqrt(0.15))
> 
>   #fit the model and store the coefficients
> regLin <- lm(y~x)
> coef <- coef(regLin)
> 
>   #use the predict() function
> y_star2 <- predict(regLin)
>   #use equation (2)
> y_star1 <- coef[1] + coef[2] * x
>   #compare
> cbind(y, y_star1, y_star2) 
          y  y_star1  y_star2
1  7.100217 6.813616 6.813616
2  6.186333 5.785473 5.785473
3  7.141016 7.492979 7.492979
4  5.121265 5.282990 5.282990
5  4.681924 4.849776 4.849776
6  6.102339 6.106751 6.106751
7  7.223215 7.156512 7.156512
8  5.158546 5.253380 5.253380
9  7.160201 7.198074 7.198074
10 5.555289 5.490793 5.490793