Lasciate e , . Qual è l'aspettativa di come ? n → ∞
Lasciate e , . Qual è l'aspettativa di come ? n → ∞
Risposte:
La risposta è effettivamente , come indovinato nelle risposte precedenti basate su simulazioni e approssimazioni finite.
La soluzione è facilmente raggiungibile introducendo una sequenza di funzioni . Anche se potremmo procedere immediatamente a questo passaggio, potrebbe sembrare piuttosto misterioso. La prima parte di questa soluzione spiega come si potrebbero preparare questi . La seconda parte mostra come vengono sfruttate per trovare un'equazione funzionale soddisfatta dalla funzione limitante . La terza parte mostra i calcoli (di routine) necessari per risolvere questa equazione funzionale.
Possiamo arrivare a questo applicando alcune tecniche matematiche standard di risoluzione dei problemi. In questo caso, dove si ripete all'infinito un qualche tipo di operazione , il limite esisterà come punto fisso di tale operazione. La chiave, quindi, è identificare l'operazione.
La difficoltà è che il passaggio da a sembra complicato. È più semplice visualizzare questo passaggio come derivante dall'adiacente alle variabili piuttosto che adiacente alle variabili . Se dovessimo considerare come costruito come descritto nella domanda - con distribuito uniformemente su , distribuito in modo condizionale uniformemente su e così via-- quindi introducendoE [ X 1 X 2 ⋯ X n - 1 X n ] X 1 ( X 2 , … , X n ) X n ( X 1 , X 2 , … , X n - 1 ) ( X 2 , … , X nX 2 [ 0 , 1 ] X 3 [ X 2 , 1 ] X 1 X i 1 - X 1 1farà sì che ciascuno degli successivi si di un fattore verso il limite superiore . Questo ragionamento porta naturalmente alla seguente costruzione.
In via preliminare, dal momento che è un po 'più semplice ridurre i numeri verso rispetto a , sia . Pertanto, è distribuito uniformemente in e è distribuito uniformemente in base a per tutti Siamo interessati a due cose:1 Y i = 1 - X i Y 1 [ 0 , 1 ] Y i + 1 [ 0 , Y i ] ( Y 1 , Y 2 , … , Y i ) i = 1 , 2 , 3 , … .
Il valore limite di .
Come si comportano questi valori quando si restringe tutto uniformemente verso : cioè, ridimensionandoli tutti di un fattore comune , . 0 t 0 ≤ t ≤ 1
A tal fine, definire
Chiaramente ogni è definito e continuo (infinitamente differenziabile, in realtà) per tutte le reali . Ci concentreremo sul loro comportamento per . t t ∈ [ 0 , 1 ]
Sono ovvi:
Ogni è una funzione monotonicamente decrescente da a .[ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ]
n per tutti .
n per tutto .
Ciò implica che esiste per tutti e .t ∈ [ 0 , 1 ] f ( 0 ) = 1
Si che, subordinatamente a , la variabile è uniforme in e le variabili (subordinata a tutte le variabili precedenti) sono uniformi in : ovvero , soddisfano esattamente le condizioni soddisfatte da . conseguentementeY 2 / Y 1 [ 0 , 1 ] Y i + 1 / Y 1 [ 0 , Y i / Y 1 ] ( Y 2 / Y 1 , Y 3 / Y 1 , … , Y n / Y 1 ) ( Y 1 , … , Y n - 1 )
Questa è la relazione ricorsiva che stavamo cercando.
Nel limite da deve quindi essere il caso che per distribuito uniformemente in indipendentemente da tutto ,Y [ 0 , 1 ] Y i
Cioè, deve essere un punto fisso del funzionale per il qualeL
Cancella la frazione moltiplicando entrambi i lati per . Poiché il lato destro è un integrale, possiamo differenziarlo rispetto a , il daret t
Equivalentemente, sottraendo e dividendo entrambi i lati per ,t
per . Possiamo estenderlo per continuità per includere . Con la condizione iniziale (3) , la soluzione unica èt = 0 f ( 0 ) = 1
Di conseguenza, per (4), l'aspettativa limite di è , QED. f ( 1 ) = e - 1 = 1 / e
Poiché Mathematica sembra essere uno strumento popolare per studiare questo problema, ecco il codice Mathematica per calcolare e tracciare per il piccolo . Il diagramma di mostra una rapida convergenza verso (mostrato come grafico nero). n f 1 , f 2 , f 3 , f 4 e - t
a = 0 <= t <= 1;
l[g_] := Function[{t}, (1/t) Integrate[(1 - x) g[x], {x, 0, t}, Assumptions -> a]];
f = Evaluate@Through[NestList[l, 1 - #/2 &, 3][t]]
Plot[f, {t,0,1}]
Aggiornare
Penso che sia una scommessa sicura che la risposta sia . Ho eseguito gli integrali per il valore atteso da a usando Mathematica e con ho ottenuton = 2 n = 100 n = 100
0.367879441171442321595523770161567628159853507344458757185018968311538556667710938369307469618599737077005261635286940285462842065735614
(fino a 100 cifre decimali). Il reciproco di quel valore è
2.718281828459045235360287471351873636852026081893477137766637293458245150821149822195768231483133554
La differenza con quella reciproca ed è
-7.88860905221011806482437200330334265831479532397772375613947042032873*10^-31
Penso che sia troppo vicino, oserei dire, per essere una coincidenza razionale.
Il codice Mathematica segue:
Do[
x = Table[ToExpression["x" <> ToString[i]], {i, n}];
integrand = Expand[Simplify[(x[[n - 1]]/(1 - x[[n - 1]])) Integrate[x[[n]], {x[[n]], x[[n - 1]], 1}]]];
Do[
integrand = Expand[Simplify[x[[i - 1]] Integrate[integrand, {x[[i]], x[[i - 1]], 1}]/(1 - x[[i - 1]])]],
{i, n - 1, 2, -1}]
Print[{n, N[Integrate[integrand, {x1, 0, 1}], 100]}],
{n, 2, 100}]
Fine dell'aggiornamento
Questo è più un commento esteso che una risposta.
Se seguiamo un percorso di forza bruta determinando il valore atteso per diversi valori di , forse qualcuno riconoscerà un modello e sarà quindi in grado di prendere un limite.
Per , abbiamo il valore atteso del prodotto
che è 96547/259200 o circa 0,3724807098765432.
Se trasciniamo l'integrale da 0 a 1, abbiamo un polinomio in con i seguenti risultati per a (e ho lasciato cadere il pedice per rendere le cose un po 'più facili da leggere): n = 1 n = 6
Se qualcuno riconosce la forma dei coefficienti interi, allora può essere determinato un limite come (dopo aver eseguito l'integrazione da 0 a 1 che è stata rimossa per mostrare il polinomio sottostante).
Bella domanda Proprio come un breve commento, vorrei notare che:
converge rapidamente in 1, quindi per il controllo Monte Carlo, l'impostazione sarà più che semplice.
Se , quindi mediante simulazione Monte Carlo, come , .
Il diagramma seguente confronta il pdf Monte Carlo simulato di con una distribuzione della funzione di potenza [cioè un beta (a, 1) pdf)]
... qui con il parametro :
(fonte: tri.org.au )
dove:
La vestibilità sembra abbastanza buona.
Codice
Ecco 1 milione di disegni pseudocasuali del prodotto (diciamo con ), qui usando Mathematica :
data = Table[Times @@ NestList[RandomReal[{#, 1}] &, RandomReal[], 1000], {10^6}];
La media del campione è:
Mean[data]
0.367657
Puramente intuitivamente, e basato sull'altra risposta di Rusty, penso che la risposta dovrebbe essere qualcosa del genere:
n = 1:1000
x = (1 + (n^2 - 1)/(n^2)) / 2
prod(x)
Che ci dà 0.3583668
. Per ogni , stai dividendo l' intervallo a metà, dove inizia da . Quindi è un prodotto di , ecc.( un , 1 ) un 0 1 / 2 , ( 1 + 3 / 4 ) / 2 , ( 1 + 8 / 9 ) / 2
Questa è solo intuizione.
Il problema con la risposta di Rusty è che U [1] è identico in ogni singola simulazione. Le simulazioni non sono indipendenti. Una soluzione per questo è facile. Sposta la linea U[1] = runif(1,0,1)
all'interno del primo anello. Il risultato è:
set.seed(3) #Just for reproducibility of my solution
n = 1000 #Number of random variables
S = 1000 #Number of Monte Carlo samples
Z = rep(NA,S)
U = rep(NA,n)
for(j in 1:S){
U[1] = runif(1,0,1)
for(i in 2:n){
U[i] = runif(1,U[i-1],1)
}
Z[j] = prod(U)
}
mean(Z)
Questo dà 0.3545284
.