Se

9

Questo non è un compito.

Lascia che $X$ sia una variabile casuale. Se $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ e $\text{Var}[X] = 0$ , segue che $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

Intuitivamente, questo sembra ovvio, ma non sono sicuro di come lo dimostrerei. So per certo che dalle ipotesi segue che $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ . Quindi

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$ Questo non sembra portarmi da nessuna parte. Potrei provare

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$ Ora da

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$ , ne consegue che

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ pure.

Ma se dovessi usare l'uguaglianza,

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$ allora il mio istinto è che

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ , in modo che

X \equiv k

$X \equiv k$ .

Come lo saprei? Suppongo una prova per contraddizione.

Se, al contrario, $X \neq k$ per tutti $X$ , allora $(X-k)^2 > 0$ , e $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ per tutti $X$ . Abbiamo una contraddizione, quindi $X \equiv k$ .

La mia prova è valida - e se è così, c'è forse un modo migliore per dimostrare questa affermazione?

probability

— Clarinettista
fonte

@ user777 Ho provato questo metodo originariamente (come puoi vedere nel mio Equazione ), ma non ero sicuro di come procedere.

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— Clarinetto il

3

Credo che la disuguaglianza di Chebyshev risponda immediatamente a questa domanda.

— whuber

@whuber: almeno la dichiarazione di Wikipedia della disuguaglianza di Chebyshev richiede esplicitamente una varianza diversa da zero . Non vedo davvero se abbiamo bisogno di una sorta di prova elementare per il caso della varianza zero ...

— Stephan Kolassa,

1

@Stephan Potresti facilmente combinare qualsiasi distribuzione non generata con range e applicare la disuguaglianza per mostrare che per tutti e tutti .

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

Ecco una prova teorica di misura per integrare gli altri, usando solo le definizioni. Lavoriamo su uno spazio di probabilità . Nota che e considera l'integrale . Supponiamo che per alcuni , esista tale che su e . Quindi approssima dal basso, quindi dalla definizione standard di come il supremo di integrali di funzioni semplici che si avvicinano dal basso, $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ che è una contraddizione. Pertanto, , . Fatto.

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— Ekvall
fonte

5

Dimostralo con la contraddizione. Con la definizione della varianza e le tue ipotesi, hai

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

dove è la densità di probabilità di . Si noti che entrambi e sono non negativo. $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

Ora, se , allora $P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

ha misura maggiore di zero, e . Ma allora $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

(alcuni argomenti in stile potrebbero essere inclusi qui) e quindi $\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x \geq \int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

e la tua contraddizione.

— Stephan Kolassa
fonte

2

Che cos'è ? È lo stesso di di? $X \equiv k$ $X = k$

ETA: Iirc, $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

Ad ogni modo, è ovvio che

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

supporre

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

Poi

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

L'ultimo passo che credo riguarda la continuità della probabilità ... o quello che hai fatto (hai ragione).

C'è anche la disuguaglianza di Chebyshev :

$\forall \epsilon > 0$ ,

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

Di nuovo a parlare .

A proposito perché è quello

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

?

Mi sembra che mentre $LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
fonte

1

Sì, hai ragione. Ho curato il post

— Clarinetist il

@Clarinetist Anche il mio è stato modificato: P

— BCLC il