"Cosa fa funzionare lo stimatore quando la distribuzione dell'errore effettiva non corrisponde alla distribuzione dell'errore ipotizzata?"
In linea di principio, il QMPLE non "funziona", nel senso di essere un "buono" stimatore. La teoria sviluppata attorno al QMLE è utile perché ha portato a test di errata specificazione.
Ciò che il QMLE fa certamente è stimare in modo coerente il vettore di parametro che minimizza la divergenza di Kullback-Leiber tra la distribuzione vera e quella specificata. Questo suona bene, ma minimizzare questa distanza non significa che la distanza minimizzata non sarà enorme.
Tuttavia, leggiamo che ci sono molte situazioni in cui il QMLE è uno stimatore coerente per il vero vettore di parametri. Questo deve essere valutato caso per caso, ma lasciatemi dare una situazione molto generale, che dimostra che non c'è nulla di inerente al QMLE che lo rende coerente per il vero vettore ...
... Piuttosto è il fatto che coincide con un altro stimatore che è sempre coerente (mantenendo l'assunto del campione ergodico-stazionario): lo stimatore del Metodo dei Momenti vecchio stile.
In altre parole, in caso di dubbi sulla distribuzione, una strategia da considerare è "specificare sempre una distribuzione per la quale lo stimatore della massima verosimiglianza per i parametri di interesse coincida con lo stimatore del metodo dei momenti" : in questo modo, non importa quanto fuori dal comune è il tuo presupposto distributivo, lo stimatore sarà almeno coerente.
Puoi prendere questa strategia a livelli ridicoli: supponi di avere un campione iid molto grande da una variabile casuale, in cui tutti i valori sono positivi. Continua e supponi che la variabile casuale sia normalmente distribuita e applica la massima probabilità per media e varianza: il tuo QMLE sarà coerente per i valori reali.
Naturalmente questo fa sorgere la domanda, perché pretendere di applicare l'MLE poiché ciò che stiamo essenzialmente facendo è fare affidamento e nasconderci dietro i punti di forza di Method of Moments (che garantisce anche la normalità asintotica)?
In altri casi più raffinati, si può dimostrare che QMLE è coerente per i parametri di interesse se possiamo dire che abbiamo specificato correttamente la funzione media condizionale ma non la distribuzione (questo è ad esempio il caso di Pooled Poisson QMLE - vedi Wooldridge) .