Valore atteso delle variabili casuali iid

Mi sono imbattuto in questa derivazione che non capisco: se sono campioni casuali di dimensione n presi da una popolazione di media e varianza , allora$X_1, X_2, ..., X_n$$\mu$$\sigma^2$

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

Questo è dove mi sono perso. L'argomento utilizzato è perché sono distribuiti in modo identico. In realtà questo non è vero. Supponiamo di avere un campione, e quindi se seleziono casualmente 2 numeri con la sostituzione e ripeto questa procedura 10 volte, allora ottengo 10 campioni: (5, 4) (2, 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1). Ecco come si presenta per 2 variabili casuali . Ora se prendo il valore di aspettativa di che ottengo,$E(X_i) = \mu$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$X_1, X_2$$X_1$

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

Ma il valore atteso della popolazione è 3,5. Cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento?

Prima di tutto, non sono campioni. Queste sono variabili casuali come sottolineato da Tim. Supponiamo di fare un esperimento in cui si stima la quantità di acqua in un alimento; per questo prendi 100 misurazioni del contenuto di acqua per 100 diversi alimenti. Ogni volta che ottieni un valore del contenuto d'acqua. Qui il contenuto di acqua è variabile aleatoria e ora supponiamo che nel mondo esistessero in totale 1000 prodotti alimentari. 100 diversi prodotti alimentari saranno chiamati un campione di questi 1000 prodotti alimentari. Si noti che il contenuto d'acqua è la variabile casuale e 100 valori del contenuto d'acqua ottenuto formano un campione. $X_1, X_2,...,X_n$

Supponiamo di campionare casualmente n valori da una distribuzione di probabilità, in modo indipendente e identico, dato che . Ora devi scoprire il valore atteso di . Poiché ciascuno di è campionato in modo indipendente e identico, il valore atteso di ciascuno di è . Quindi ottieni .$E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$$\frac{n\mu}{n} =\mu$

La terza equazione nella tua domanda è la condizione per uno stimatore di essere stimatore imparziale del parametro di popolazione. La condizione per uno stimatore di essere imparziale è

dove theta è il parametro di popolazione e è il parametro stimato dal campione.$\bar{\theta}$

Nel tuo esempio la tua popolazione è e ti è stato dato un campione di valori iid che sono . La domanda è: come stimeresti la media della popolazione dato questo campione. Secondo la formula precedente, la media del campione è uno stimatore imparziale della media della popolazione. Lo stimatore imparziale non deve necessariamente essere uguale alla media effettiva, ma è il più vicino alla media in quanto è possibile ottenere queste informazioni.$\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$