Prima di tutto, non sono campioni. Queste sono variabili casuali come sottolineato da Tim. Supponiamo di fare un esperimento in cui si stima la quantità di acqua in un alimento; per questo prendi 100 misurazioni del contenuto di acqua per 100 diversi alimenti. Ogni volta che ottieni un valore del contenuto d'acqua. Qui il contenuto di acqua è variabile aleatoria e ora supponiamo che nel mondo esistessero in totale 1000 prodotti alimentari. 100 diversi prodotti alimentari saranno chiamati un campione di questi 1000 prodotti alimentari. Si noti che il contenuto d'acqua è la variabile casuale e 100 valori del contenuto d'acqua ottenuto formano un campione. X1,X2,...,Xn
Supponiamo di campionare casualmente n valori da una distribuzione di probabilità, in modo indipendente e identico, dato che . Ora devi scoprire il valore atteso di . Poiché ciascuno di è campionato in modo indipendente e identico, il valore atteso di ciascuno di è . Quindi ottieni .E(X)=μX¯XiXiμnμn=μ
La terza equazione nella tua domanda è la condizione per uno stimatore di essere stimatore imparziale del parametro di popolazione. La condizione per uno stimatore di essere imparziale è
E(θ¯)=θ
dove theta è il parametro di popolazione e è il parametro stimato dal campione.θ¯
Nel tuo esempio la tua popolazione è e ti è stato dato un campione di valori iid che sono . La domanda è: come stimeresti la media della popolazione dato questo campione. Secondo la formula precedente, la media del campione è uno stimatore imparziale della media della popolazione. Lo stimatore imparziale non deve necessariamente essere uguale alla media effettiva, ma è il più vicino alla media in quanto è possibile ottenere queste informazioni.{1,2,3,4,5,6}10{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5}