Topologie per le quali l'insieme delle distribuzioni di probabilità è completo

Ho faticato parecchio a conciliare la mia comprensione intuitiva delle distribuzioni di probabilità con le strane proprietà che possiedono quasi tutte le topologie sulle distribuzioni di probabilità.

Ad esempio, considera una variabile casuale mista : scegli un gaussiano centrato su 0 con varianza 1 e con probabilità , aggiungi al risultato. Una sequenza di tali variabili casuali converrebbe (debolmente e nella variazione totale) in un gaussiano centrato su 0 con varianza 1, ma la media di è sempre e le varianze convergono in . Non mi piace davvero dire che questa sequenza converge proprio per questo.$X_n$$\frac{1}{n}$$n$$X_n$$1$$+\infty$

Mi sono preso un po 'di tempo per ricordare tutto ciò che ho dimenticato delle topologie, ma alla fine ho capito cosa non mi soddisfaceva di questi esempi: il limite della sequenza non è una distribuzione convenzionale. Nell'esempio sopra, il limite è uno strano "gaussiano di media 1 e di varianza infinita". In termini topologici, l'insieme delle distribuzioni di probabilità non è completo sotto i deboli (e la TV, e tutte le altre topologie che ho visto).

Devo quindi affrontare la seguente domanda:

• esiste una topologia tale che l'insieme delle distribuzioni di probabilità sia completo?

• In caso negativo, tale assenza riflette un'interessante proprietà dell'insieme di distribuzioni di probabilità? O è solo noioso?

Nota: ho formulato la mia domanda su "distribuzioni di probabilità". Questi non possono essere chiusi perché possono convergere in Diracs e cose del genere che non hanno un pdf. Ma le misure non sono ancora chiuse sotto la topologia debole, quindi la mia domanda rimane

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Guardando la domanda da un angolo statistico più ristretto (il problema topologico matematico generale è valido), il fatto che la sequenza di momenti possa non convergere ai momenti della distribuzione limitante è un fenomeno ben noto. Ciò, in linea di principio, non mette automaticamente in dubbio l'esistenza di una distribuzione limitante ben eseguita della sequenza.

La distribuzione limitante della sequenza precedente è una ben condotta$\{X_n + n Bern(1/n)\}$$N(0,1)$ distribuzione con momenti finiti. È la sequenza dei momenti che non converge. Ma questa è una sequenza diversa , una sequenza composta da funzioni delle nostre variabili casuali (integrali, densità e simili), non dalla sequenza delle variabili casuali stesse di cui siamo interessati alla distribuzione limitante.