Il teorema di Slutsky è ancora valido quando due sequenze convergono entrambe in una variabile casuale non degenerata?

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Sono confuso su alcuni dettagli sul teorema di Slutsky :

Sia , due sequenze di elementi casuali scalari / vettoriali / a matrice. $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$

Se converge nella distribuzione in un elemento casuale e converge in probabilità in una costante , quindi condizione che sia invertibile, dove indica la convergenza nella distribuzione. $X_n$ $X$ $Y_n$ $c$
$\begin{aligned} X_{n} + Y_{n} & \overset{d}{\to} X + c \\ X_{n} Y_{n} & \overset{d}{\to} c X \\ X_{n} / Y_{n} & \overset{d}{\to} X / c, \end{aligned}$ $\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$ $c$ ${\xrightarrow {d}}$

Se entrambe le sequenze nel teorema di Slutsky convergono entrambe in una variabile casuale non degenerata, il teorema è ancora valido e, in caso contrario (qualcuno potrebbe fornire un esempio?), Quali sono le condizioni extra per renderlo valido?

— Nicolas H
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Il teorema di Slutsky non si estende a due sequenze convergenti nelle distribuzioni in una variabile casuale. Se converge in distribuzione a , potrebbe non riuscire a convergere o può convergere a qualcosa di diverso da . $Y_n$ $Y$ $X_n+Y_n$ $X+Y$

Per esempio, se per tutti i s', non converge alla differenza di due RV con la stessa distribuzione di . $Y_n=-X_n$ $n$ $X_n+Y_n$ $X$

Un altro contro-esempio è che, quando le sequenze e sono indipendenti ed entrambe convergono nella distribuzione in una normale variabile , se si definisce e , quindi Vedi la risposta di Davide per maggiori dettagli su questo esempio. $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$ $\text{N}(0,1)$ $X_1\sim\text{N}(0,1)$ $X_2=-X_1$

\begin{aligned} X_{n} & \overset{d}{\to} X_{1} \\ Y_{n} & \overset{d}{\to} X_{2} \\ X_{n} + Y_{n} & ⧸ \overset{d}{\to} X_{1} + X_{2} = 0 \end{aligned}

$\eqalign{X_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_1\\Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_2\\X_{n}+Y_{n}\ &\not{{\xrightarrow {d}}}\ X_1+X_2=0}$

— Xi'an
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Perché si estenda hai bisogno di qualcosa di più, come l'indipendenza.

— kjetil b halvorsen,

Ho ragione nel pensare che se entrambe le sequenze invece convergono in una costante, Slutsky si applica comunque perché una costante è un caso speciale (degenerato) di un camper?

— passaggio di mezzo

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@ mezzo passaggio: questo è corretto.

— Xi'an,

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Supponiamo che sia un vettore centrato gaussiano la cui matrice di covarianza è con . Definire e per . Quindi e , dove e sono normali variabili casuali standard. Tuttavia, è gaussiano, centrato e la sua varianza è . Poiché non si sa nulla sulla distribuzione di , non possiamo affermare che nella distribuzione. $(X_0,Y_0)$ $\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$ $|\rho|\leqslant 1$ $X_n:=X_0$ $Y_n:=Y_0$ $n\geqslant 1$ $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X$ $Y$ $X_n+Y_n$ $2+2\rho$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

Questo esempio mostra che potremmo avere in generale e nella distribuzione, ma se non disponiamo di informazioni sulla distribuzione di , la convergenza da potrebbe non riuscire. $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

Naturalmente, tutto va bene se nella distribuzione (ad esempio se è indipendente da e di In generale, possiamo solo affermare che la sequenza è stretto (ovvero per ogni positivo , possiamo trovare tale che ). che possiamo trovare una sequenza crescente di numeri interi tale che converge in distribuzione ad alcune variabile casuale . $(X_n,Y_n)\to (X,Y)$ $X_n$ $Y_n$ $X$ $Y$ $(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\varepsilon$ $R$ $\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $Z$

Proposizione. Esistono sequenze di variabili casuali gaussiane e tali che per qualsiasi , possiamo trovare una sequenza crescente di numeri interi tale che converge nella distribuzione in . $(X_n)_{n\geqslant 1}$ $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\sigma\in [0,2]$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $N(0,\sigma^2)$

Prova. Considera un'enumerazione di numeri razionali di e una biiezione . Per , definire come vettore centrato gaussiano della matrice di covarianza . Con questa scelta, si può vedere che la conclusione della proposizione è soddisfatta quando è razionale. Utilizzare un argomento di approssimazione per il caso generale. $(r_j)$ $[-1,1]$ $\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$ $n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$ $(X_n,Y_n)$ $\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$ $\sigma$

— Davide Giraudo
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