Ecco un altro approccio, che non prevede la ricorsione. Tuttavia utilizza ancora somme e prodotti le cui lunghezze dipendono dai parametri. Prima darò l'espressione, poi spiegherò.
Abbiamo
P(|L1∩L2∩⋯∩Lm|=k)=(nk)∏ni=1(nai)∑j=0min(a1,…,am)−k(−1)j(n−kj)∏l=1n(n−j−kal−j−k).
EDIT: Alla fine della stesura di tutto ciò, mi sono reso conto che possiamo consolidare un po 'l'espressione sopra combinando i coefficienti binomiali in probabilità ipergeometriche e coefficienti trinomiali. Per quello che vale, l'espressione rivista è
Qui è una variabile casuale ipergeometrica in cui disegni sono presi da una popolazione di dimensioni con stati di successo .Hyp(n,j+k,al)alnj+k
∑j=0min(a1,…,am)−k(−1)j(nj,k,n−j−k)∏l=1nP(Hyp(n,j+k,al)=j+k).
Hyp ( n , j + k , al)un'lnj + k
Derivazione
Prendiamo qualche nota per rendere gli argomenti combinatori un po 'più facili da tracciare (si spera). In tutto, consideriamo e fissi. Useremo per indicare la raccolta di -tuple ordinate , dove ogni , soddisfacentea 1 , … , a m C ( I ) m ( L 1 , … , L m ) L i ⊆ SSun'1, ... , unmC( Io)m( L1, ... , Lm)Lio⊆ S
- | Lio| = aio ; e
- L1∩ ⋯ ∩ Lm= I .
Useremo anche per una raccolta identica, tranne per il fatto che richiediamo invece di uguaglianza. L 1 ∩⋯∩ L m ⊇IC'( Io)L1∩ ⋯ ∩ Lm⊇ io
Un'osservazione chiave è che è relativamente facile da contare. Questo perché la condizione è equivalente a per tutti , quindi in un certo senso ciò rimuove le interazioni tra diversi valori . Per ogni , il numero di soddisfa il requisito è , poiché possiamo costruire tale scegliendo un sottoinsieme di di dimensionee poi l'unione con . Ne consegue che
C'( Io)L i ⊇ I i i i L i ( | S | - | I |L1∩ ⋯ ∩ Lm⊇ ioLio⊇ ioioioioLioLiS∖I( | S| - | io|un'io- | io|)LioS∖ ioIo | C ′ ( I ) | = n ∏ i = 1 ( | S | - | I |un'io- | io|io
| C'( Io) | = ∏i=1n(|S|−|I|ai−|I|) .
Ora la nostra probabilità originale può essere espressa tramite come segue:
C
P(|L1∩L2∩⋯∩Lm|=k)=∑I:|I|=k|C(I)|∑all I⊆S|C(I)|.
Possiamo fare subito due semplificazioni. Innanzitutto, il denominatore è lo stesso di
secondo luogo, un argomento di permutazione mostra chedipende solo da attraverso la cardinalità. Poiché ci sono sottoinsiemi di con cardinalità , ne consegue che
dove è un sottoinsieme arbitrario e fisso di con cardinalità| C(I)| Io| Io| (n
|C′(∅)|=∏i=1n(|S|ai)=∏i=1n(nai).
|C(I)|I|I| Sk∑I:| Io| =k| C(I)| = ( n(nk)SkI0Sk∑I:|I|=k|C(I)|=(nk)|C(I0)|,
I0Sk .
Facendo un passo indietro, ora abbiamo ridotto il problema mostrando che
|C(I0)|=∑j=0min(a1,…,am)−k(−1)j(n−kj)∏l=1n(n−j−kal−j−k).
Sia i sottoinsiemi distinti di formati aggiungendo esattamente un elemento a . Quindi
(Questo sta solo dicendo che se , allora contiene ma non contiene alcun elemento aggiuntivo.) Ora abbiamo trasformato il problema di conteggio in un problema di conteggio , che sappiamo di più come gestire. Più specificamente, abbiamo
S I 0 C ( I 0 )J1,…,Jn−kSI0L 1 ∩ ⋯ ∩ L m = I 0 L 1 ∩ ⋯ ∩ L m I 0 C
C(I0)=C′(I0)∖(⋃i=1n−kC′(Ji)).
L1∩⋯∩Lm=I0L1∩⋯∩LmI0C| C ( I 0 ) | = | C ′ ( I 0 ) | - | n - k ⋃ i = 1 C ′ ( J i ) | = n ∏ l = 1 ( n - kC′|C(I0)|=|C′(I0)|−∣∣∣⋃i=1n−kC′(Ji)∣∣∣=∏l=1n(n−kal−k)−∣∣∣⋃i=1n−kC′(Ji)∣∣∣.
Possiamo applicare l'inclusione-esclusione per gestire la dimensione dell'espressione sindacale sopra. La relazione cruciale qui è che, per qualsiasi non vuoto ,
Questo perché se contiene un numero di , allora contiene anche la loro unione. Notiamo anche che il set ha dimensioni. Perciò
⋂ i ∈ I C ′ (I⊆{1,…,n−k}
⋂i∈IC′(Ji)=C′(⋃i∈IJi).
L1∩⋯∩LmJi⋃i∈IJi|I0|+|I|=k+|I|∣∣∣⋃i=1n−kC′(Ji)∣∣∣=∑∅≠I⊆{1,…,n−k}(−1)|I|−1∣∣∣⋂i∈IC′(Ji)∣∣∣=∑j=1n−k∑I:|I|=j(−1)j−1∏l=1n(n−j−kal−j−k)=∑j=1n−k(−1)j−1(n−kj)∏l=1n(n−j−kal−j−k).
( Qui possiamo limitare i valori poiché il prodotto dei coefficienti binomiali è zero a meno che per tutto , ovvero .)
jj≤al−klj≤min(a1,…,am)−k
Infine, sostituendo l'espressione alla fine nell'equazione persopra e consolidando la somma, otteniamo
come rivendicato.|C(I0)|
|C(I0)|=∑j=0min(a1,…,am)−k(−1)j(n−kj)∏l=1n(n−j−kal−j−k)