Perché la distribuzione di Poisson è stata scelta per modellare i processi di arrivo nei problemi della teoria delle code?

Quando consideriamo gli scenari della teoria delle code in cui gli individui arrivano a un nodo di servizio e fanno la coda, di solito viene utilizzato un processo di Poisson per modellare i tempi di arrivo. Questi scenari si presentano in problemi di routing di rete. Gradirei una spiegazione intuitiva sul perché un processo di Poisson è più adatto a modellare gli arrivi.

poisson-distribution intuition queueing

— Vighnesh
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Risposte:

Il processo di Poisson prevede un tempo di attesa "senza memoria" fino all'arrivo del cliente successivo. Supponiamo che il tempo medio tra un cliente e il successivo sia . Una distribuzione di probabilità continua senza memoria fino al prossimo arrivo è quella in cui la probabilità di attendere un altro minuto, o secondo, o ora, ecc., Fino al prossimo arrivo, non dipende da quanto tempo stai aspettando dall'ultimo . Il fatto che tu abbia già atteso cinque minuti dall'ultimo arrivo non rende più probabile l'arrivo di un cliente nel minuto successivo, di quanto sarebbe se avessi atteso solo 10 secondi dall'ultimo arrivo. $\theta$

Ciò implica automaticamente che il tempo di attesa fino all'arrivo successivo soddisfa , ovvero è una distribuzione esponenziale. $T$ $\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

E ciò a sua volta può dimostrare che il numero di clienti che arrivano durante qualsiasi intervallo di tempo soddisfa $X$ $t$ , cioè ha una distribuzione di Poisson con valore atteso. Inoltre, implica che il numero di clienti che arrivano in intervalli di tempo non sovrapposti è probabilisticamente indipendente. $\Pr(X=x) = \dfrac{e^{-t/\theta} (t/\theta)^x}{x!}$ $t/\theta$

Quindi l'assenza di memoria dei tempi di attesa porta al processo di Poisson.

— Michael Hardy
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Qualunque cosa possano dire i teoremi, è un fatto sperimentale che, in situazioni normali, gli arrivi sono privi di memoria. Non puoi dimostrare che il numero di clienti che arrivano in un certo periodo non sia nulla, davvero.

L'intenzione della domanda non era quella di chiedere una prova formale. Molte volte vengono fatte osservazioni che portano a un teorema e quindi l'intuizione viene "sviluppata" per adattarsi alle osservazioni e quindi aiutare a cementare il teorema nella comprensione popolare. Stavo cercando qualcosa di simile. Ho modificato la mia domanda per includere lo stesso.

— Vighnesh,

Grazie per la risposta. Non ho seguito del tutto il modo in cui la memoria meno arrivi arriva a

. Potresti per favore elaborare o citare un riferimento che ne parla in dettaglio. Grazie.

Pr (T > t) = e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

— Vighnesh,

La mancanza di memoria dice

. Questo è lo stesso di

. L'evento

è la stessa come l'evento

Pr (T > t + s ∣ T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\mid T>t) = \Pr(T>s)$

Pr (T > t + s and T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\text{ and }T>t) = \Pr(T>s)$

[T > t + s and T > t]

$[T>t+s\text{ and }T>t]$

. Quindi la probabilità condizionata è

. La mancanza di memoria dice che questo è lo stesso di

. Quindi abbiamo

. Una funzione monotona

che soddisfa

T > t + s

$T>t+s$

Pr (T > t + s) / Pr (T > t)

$\Pr(T>t+s)/\Pr(T>t)$

Pr (T > s)

$\Pr(T>s)$

Pr (T > t + s) = Pr (T > t) Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s)=\Pr(T>t)\Pr(T>s)$

g

$g$

è una funzione esponenziale. E la monotonia deriva dal fatto che

deve essere inferiore a

perché il primo evento implica, ma non è implicito da quest'ultimo.

g (t + s) = g (t) g (s)

$g(t+s)=g(t)g(s)$

Pr (T > t + s)

$\Pr(T>t+s)$

Pr (T > t)

$\Pr(T>t)$

— Michael Hardy,

Non dovrebbe essere

Pr (T > t) = 1 / θ * e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = 1/\theta*e^{-t/\theta}$

— vonjd,

Praticamente qualsiasi introduzione alla teoria delle code o al libro sui processi stocastici tratterà questo, ad esempio Ross, Stochastic Processes o Kleinrock, Queuing Theory.

Per uno schema di una prova che gli arrivi senza memoria portano a una distinzione esponenziale:

Sia G (x) = P (X> x) = 1 - F (x). Ora, se la distribuzione è senza memoria,

G (s + t) = G (s) G (t)

cioè, la probabilità che x> s + t = la probabilità che sia maggiore di s, e che, ora che è maggiore di s, sia maggiore di (s + t). La proprietà senza memoria significa che la seconda probabilità (condizionale) è uguale alla probabilità che un camper diverso con la stessa distribuzione> t.

Per citare Ross:

"Le uniche soluzioni dell'equazione di cui sopra che soddisfano qualsiasi tipo di condizioni ragionevoli, (come la monotonia, la continuità destra o sinistra o persino la misurabilità), sono della forma:"

G (x) = exp (-ax) per un valore adatto di a.

e siamo alla distribuzione esponenziale.

— jbowman
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IL PROGETTO DI PROCESSI STOCASTICI DI Robert Gallager: TEORIA DELLE APPLICAZIONI ( rle.mit.edu/rgallager/notes.htm ) è una buona alternativa gratuita per un'introduzione ai processi stocastici inclusa una discussione sul processo di Poisson

— Martin Van der Linden,

RAFT OF PROCESSES STOCASTICI DI Robert Gallager: TEORIA DELLE APPLICAZIONI

— Martin Van der Linden,