Per intuizione, quali sono alcuni esempi di vita reale di variabili casuali non correlate ma dipendenti?

Nello spiegare perché non correlato non implica indipendente, ci sono diversi esempi che coinvolgono un mucchio di variabili casuali, ma sembrano tutti così astratti: 1 2 3 4 .

Questa risposta sembra avere senso. La mia interpretazione: una variabile casuale e il suo quadrato potrebbero non essere correlati (poiché apparentemente la mancanza di correlazione è qualcosa come l'indipendenza lineare) ma sono chiaramente dipendenti.

Immagino che un esempio sarebbe che (standardizzato?) L'altezza e l'altezza potrebbero non essere correlate ma dipendenti, ma non vedo perché qualcuno vorrebbe confrontare l'altezza e l'altezza . $^2$ $^2$

Allo scopo di dare intuizione a un principiante nella teoria della probabilità elementare o scopi simili, quali sono alcuni esempi nella vita reale di variabili casuali non correlate ma dipendenti?

— BCLC
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Questo non risponde alla tua domanda, ma sembra rilevante: a volte un camper e il suo quadrato sono correlati e talvolta non correlati. Ad esempio, se X è uniforme su [0,1], allora X e X ^ 2 non sono correlati. Ma se X è uniforme su [-1, 1], allora X e X ^ 2 non sono correlati. (Disegna un'immagine per aiutarti a vedere questo.) Tuttavia, in entrambi i casi, X e X ^ 2 dipendono.

— Martha,

@Martha c'è un refuso nel tuo commento. Penso che sia il primo "non correlato" che dovrebbe essere "correlato". ;)

— Un vecchio nel mare.

@Anoldmaninthesea correlato e talvolta correlato?

— BCLC,

@BCLC "se X è uniforme su [0,1], allora X e X ^ 2 non sono correlati." Dovrebbe essere "se X è uniforme su [0,1], allora X e X ^ 2 sono correlati", penso.

— Un vecchio nel mare.

@Anoldmaninthesea Hai ragione: correlato su [0,1], ma non correlato su [-1,1]. Grazie per aver segnalato l'errore di battitura.

— Martha,

Risposte:

In finanza, gli effetti GARCH (eteroschedasticità condizionale autoregressiva generalizzata) sono ampiamente citati qui: rendimenti azionari , con il prezzo al momento , essi stessi non sono correlati con il loro passato se i mercati azionari sono efficienti (altrimenti, potresti facilmente e proficuamente prevedere dove stanno andando i prezzi), ma i loro quadrati $r_t:=(P_t-P_{t-1})/P_{t-1}$ $P_t$ $t$ $r_{t-1}$ $r_t^2$ e non lo sono: esiste una dipendenza temporale nelle varianze, che si raggruppano nel tempo, con periodi di elevata varianza in tempi volatili. $r_{t-1}^2$

Ecco un esempio artificiale (ancora una volta, lo so, ma le serie "reali" di restituzione dei titoli possono sembrare simili):

Si vede il cluster ad alta volatilità in particolare . $t\approx400$

Generato utilizzando

library(TSA)
garch01.sim <- garch.sim(alpha=c(.01,.55),beta=0.4,n=500)
plot(garch01.sim, type='l', ylab=expression(r[t]),xlab='t')

— Christoph Hanck
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Grazie valoroso re renne pungente Hanck. Un po 'di rigore per favore? ^ - ^ Per rendimenti azionari intendi Rt = (St + 1-St) / St? Quadrati di St o quadrati o RT?

— BCLC,

Ho aggiunto un piccolo chiarimento

— Christoph Hanck il

Quella è R?

$\$

— BCLC,

È R. Richiede il pacchetto TSA .

— toliveira,

Un semplice esempio è una distribuzione bivariata uniforme su un'area a forma di ciambella. Le variabili non sono correlate, ma chiaramente dipendenti - ad esempio, se sai che una variabile è vicina alla sua media, l'altra deve essere distante dalla sua media.

— RVL
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Quali sono esattamente le due variabili?

— BCLC,

X

$X$

Y

$Y$

f (x, y) = 1 / 3 π

$f(x,y) = 1 / 3\pi$

1 < x^{2} + y^{2} < 2

$1 < x^2+y^2 < 2$

0

$0$

Beh, immagino che gli esempi di fisica siano la vita reale. Grazie rvl. Perché il tuo esempio è vero?

— BCLC,

Traccia un grafico della regione in cui la densità è diversa da zero e pensaci.

— rvl

Ho trovato la seguente figura dal wiki è molto utile per l'intuizione. In particolare, la riga inferiore mostra esempi di distribuzioni non correlate ma dipendenti.

Didascalia della trama sopra in wiki: Diversi set di punti (x, y), con il coefficiente di correlazione di Pearson di xey per ogni set. Si noti che la correlazione riflette la rumorosità e la direzione di una relazione lineare (riga superiore), ma non la pendenza di tale relazione (al centro), né molti aspetti delle relazioni non lineari (in basso). NB: la figura al centro ha una pendenza di 0 ma in tal caso il coefficiente di correlazione non è definito perché la varianza di Y è zero.

— Yuqian
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