Teorema di Bayes con più condizioni

Non capisco come sia stata derivata questa equazione.

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

Questa equazione proveniva dall'articolo "Prova per probabilità" in cui il caso di OJ Simpson è stato illustrato come un problema di esempio. L'imputato è sotto processo per doppio omicidio e due prove sono state presentate contro di lui.

$M_{1}$ è l'evento in cui il sangue dell'imputato corrisponde a una goccia di sangue trovata in una scena del crimine. $M_{2}$ è il caso in cui il sangue di una vittima corrisponda al sangue su un calzino appartenente all'imputato. Supponendo la colpa, il verificarsi di una prova aumenta la probabilità dell'altra. $I$ è il caso in cui un imputato è innocente, mentre $I'$ è quando lui è colpevole.

Stiamo cercando di ottenere il SOFFITTO della probabilità che l'imputato sia innocente alla luce delle due prove.

Sono stati forniti valori per alcune variabili, ma ciò che mi interessa è il modo in cui è stata derivata l'equazione. Ho provato ma non sono arrivato da nessuna parte.

Sì, ho già controllato le "Domande che potrebbero già avere la tua risposta".

bayesian conditional-probability bayes

— Sakurabe
fonte

Qual è il significato di

? Sono

I^{'}

$I^\prime$

I^{c}

$I^\text{c}$

— Xi'an,

@ Xi'an sì

in un'altra notazione

I^{'}

$I'$

I^{c}

$I^{c}$

— Sakurabe,

Dal teorema di Bayes: Ora il documento che hai fornito sostiene che

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} \cap M_{2})} \\ = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} . \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$

Se è vero, allora e sono indipendenti. Ma supponendo un senso di colpa, il verificarsi di uno aumenterebbe la probabilità dell'altro. $I$ $M_1$ $M_2$

Quindi e

\begin{matrix} (1) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) = P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I), \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

Quindi,

\begin{matrix} (2) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'}) = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) . \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Substitute with (1)) \\ \leq \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Lesser Denominator) \\ \leq \frac{P (I)}{P (I^{'})} \cdot \frac{P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'})} . & (Substitute with (2)) \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

$\eqref{eq2}$

\begin{aligned} \frac{P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})}{P (M_{2} ∣ I^{'})} & = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})} \\ = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'})} \\ = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$ and since the occurrence of

M_{2}

$M_2$ would increase the probability of

M_{1}

$M_1$ :

P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'})

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

— Francis
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I wanna first thank you for taking the time to help. But I'm still a bit confused. Could you please add equation numbers and indicate where you apply earlier equations in later substitutions? Things are starting to make sense but I still don't get the inequality after the 'and', and the part where you substitute in the denominator and the whole thing becomes an inequality. I'm guessing an explanation on how the quoted argument from the paper is translated mathematically would help. Thanks again!

— Sakurabe

@Sakurabe: better?

— Francis

Okay, now I got how the evidences reinforce each other. Last question, did we just drop

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$ from the denominator? As in drop without a theorem or anything? I mean, it does make some sense since it wouldn't reverse the resulting inequality from (2) plus it is also what I assumed they did in an earlier example in the paper involving only one DNA evidence (with the +1 in the denominator). Thanks, I really appreciate your help.

— Sakurabe

@Sakurabe: Yes, because that term is non-negative, so dropping it will decrease the denominator.

— Francis