Le ipotesi null e alternative devono essere esaustive o no?

Ho visto molte volte affermare che devono essere esaustivi (gli esempi in tali libri sono sempre stati impostati in modo tale, che lo erano davvero), d'altra parte ho visto anche molte volte libri che affermano che dovrebbero essere esclusivi ( ad esempio come e come ) senza chiarire il problema esaustivo. Solo prima di scrivere questa domanda ho trovato un'affermazione un po 'più forte sulla pagina di Wikipedia - "L'alternativa non deve essere la negazione logica dell'ipotesi nulla". $\mathrm{H}_{0}$ $\mu_1=\mu_2$ $\mathrm{H}_{1}$ $\mu_1>\mu_2$

Qualcuno più esperto potrebbe spiegare quale sia la verità, e sarei grato di far luce sulle ragioni (storiche?) Di tale differenza (dopo tutto i libri sono stati scritti da statistici, vale a dire scienziati, non filosofi).

hypothesis-testing

— greenoldman
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Risposte:

In linea di principio, non vi è motivo per cui le ipotesi siano esaustive. Se il test riguarda un parametro con come limitazione , l'alternativa può essere di qualsiasi forma purché $\theta$ $H_0$ $\theta\in\Theta_0$ $H_a$ $\theta\in\Theta_a$

Θ_{0} \cap Θ_{a} = \emptyset .

$\Theta_0\cap\Theta_a=\emptyset.$

Un esempio del perché l'esaustività non ha molto senso quando si confrontano due famiglie di modelli, contro . In tal caso, l'esaustività è impossibile, poiché l'alternativa dovrebbe quindi coprire tutti i possibili modelli di probabilità. $H_0:\ x\sim f_0(x|\theta_0)$ $H_a:\ x\sim f_1(x|\theta_1)$

— Xi'an
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Grazie, sai per caso perché è così comune vedere questo requisito di essere esaustivo? A parte il semplice malinteso, perché questo sarebbe uno dei malintesi più comuni :-).

— Greenoldman,

Non capisco l'esempio. Quando si confrontano due famiglie di modelli e tra loro sembrano esaurire ogni possibile modello della famiglia. Se si consente al nulla e all'alternativa di non coprire tutti questi modelli, si complica il processo di valutazione del rischio decisionale-teorico del test (sia in teoria che in pratica).

H_{0}

$H_0$

H_{a}

$H_a$

— whuber

@whuber: hai letto male il mio esempio. Come scritto sopra, l'alternativa è costituita da una famiglia ben definita di modelli, in cui varia l'intero set di valori possibili, anziché essere costituito da tutti i possibili modelli di probabilità. Questo non è quindi esaustivo. Questa è una critica sollevata contro l'approccio bayesiano alla sperimentazione, vedi ad esempio il filosofo della scienza, Deborah Mayo, in Errore e inferenza

H_{a}

$H_a$

θ_{1}

$\theta_1$

— Xi'an,

Penso di leggere correttamente il tuo esempio, Xi'an, ma chiaramente sto lottando con ciò che intendi per "esaustivo". Il suo uso nella risposta e nei commenti sembra significare "include tutte le distribuzioni di probabilità", ma nella maggior parte delle situazioni di verifica delle ipotesi ciò non è rilevante. Nella situazione attuale, "esaustivo" deve significare "comprendente tutte le distribuzioni incluse nel modello" (come tutte le distribuzioni normali per un test di teoria normale).

— whuber

Il motivo principale per cui si vede la necessità che le ipotesi siano esaustive è il problema di ciò che accade se il vero valore del parametro si trova nella regione che non è coperta dall'ipotesi nulla o alternativa. Quindi, il test al livello di di confidenza diventa insignificante o, forse peggio, il test sarà distorto a favore del nulla - ad esempio, un test unilaterale della forma vs. , quando effettivamente . $\alpha %$ $\theta = 0$ $\theta > 0$ $\theta < 0$

Un esempio: un test unilaterale per vs da una distribuzione normale con noto e vero . Con una dimensione del campione di 100, un test del 95% rifiuterebbe se , ma 0,1645 è in realtà 2.645 deviazioni standard al di sopra della media reale, portando a un livello di test effettivo di circa il 99,6%. $\mu = 0$ $\mu > 0$ $\sigma = 1$ $\mu = -0.1$ $\bar{x} > 0.1645$

Inoltre, escludi la possibilità di essere sorpreso e di imparare qualcosa di interessante.

Tuttavia, si può anche considerare come definire lo spazio dei parametri come un sottoinsieme di quello che potrebbe in genere essere considerato lo spazio dei parametri, ad esempio, la media di una distribuzione normale viene spesso considerata situata da qualche parte sulla linea reale, ma se lo facciamo un test unilaterale, stiamo, in effetti, definendo lo spazio dei parametri come parte della linea coperta da null e alternativa.

— jbowman
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Grazie, hai fatto un errore di formulazione, non esclusivo ma esaustivo (prima riga).

— Greenoldman,

Concettualmente, un test unilaterale è in realtà un test nella forma vs. anziché vs. . Nelle esposizioni elementari, in particolare quelle viste sul Web, questa distinzione è superata, ma è attentamente e correttamente gestita nella letteratura statistica e nei buoni libri di testo. Così stiamo non limitando lo spazio dei parametri.

H_{0} : θ \leq 0

$H_0: \theta \le 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

H_{0} : θ = 0

$H_0: \theta = 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

— whuber

whuber - hai ragione sul test unilaterale, ovviamente. Stavo provando, anche se in modo inetto, a descrivere cosa potrebbe accadere se le ipotesi non fossero in effetti esaustive, cosa che in questo caso si verificherebbe se i null fossero . Se vogliamo davvero attenerci al punto null e all'alternativa unilaterale, e avere ipotesi esaustive, mi sembra che dobbiamo ridefinire lo spazio dei parametri come sopra.

θ = 0

$\theta = 0$

— jbowman,

Davvero @whuber? L'ipotesi nulla in un test unilaterale è una disuguaglianza che include la coda non testata? Questo ha molto più senso per me! Ma come dici tu, è stato presentato nel mio corso come un punto di uguaglianza. Grazie per il chiarimento.

— James,