Disuguaglianza di Chebyshev unilaterale per il momento più elevato


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Esiste un analogo al momento più elevato delle disuguaglianze di Chebyshev nel caso unilaterale?

La disuguaglianza di Chebyshev-Cantelli sembra funzionare solo per la varianza, mentre la disuguaglianza di Chebyshevs può essere facilmente prodotta per tutti gli esponenti.

Qualcuno sa di una disuguaglianza unilaterale usando i momenti più alti?

Risposte:


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Per comodità, lascia che indichi una variabile casuale a media zero continua con la funzione di densità f ( x ) e considera P { X a } dove a > 0 . Abbiamo P { X a } = a f ( x )Xf(x)P{Xa}a>0 dove g ( x ) = 1 [ a , ) . Se n è unancoraintero e b qualsiasi numero reale positivo, allora h ( x ) = ( x + b

P{Xa}=af(x)dx=g(x)f(x)dx=E[g(X)]
g(x)=1[a,)nb e quindi E[h(X)]=- h(x)f(x)
h(x)=(x+ba+b)ng(x),<x<,
Così abbiamo che per tutti i numeri reali positivi a e b , P { X un } E [ ( X + b
E[h(X)]=h(x)f(x)dxg(x)f(x)dx=E[g(X)].
ab
(1)P{Xa}E[(X+ba+b)n]=(a+b)nE[(X+b)n]
(1)nnXbn=2P{Xa} dare la disuguaglianza di Chebyshev unilaterale (o disuguaglianza di Chebyshev-Cantelli): P { X a } σ 2b=σ2/a Per valori maggiori din, la minimizzazione rispetto abè più complessa.
P{Xa}σ2a2+σ2.
nb
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