Disuguaglianza di Chebyshev unilaterale per il momento più elevato

Esiste un analogo al momento più elevato delle disuguaglianze di Chebyshev nel caso unilaterale?

La disuguaglianza di Chebyshev-Cantelli sembra funzionare solo per la varianza, mentre la disuguaglianza di Chebyshevs può essere facilmente prodotta per tutti gli esponenti.

Qualcuno sa di una disuguaglianza unilaterale usando i momenti più alti?

Per comodità, lascia che indichi una variabile casuale a media zero continua con la funzione di densità f ( x ) e considera P { X ≥ a } dove a > 0 . Abbiamo P { X ≥ a } = ∫ ∞ a f ( x $X$$f(x)$$P\{X \geq a\}$$a > 0$ dove g ( x ) = 1 [ a , ∞ ) . Se n è unancoraintero e b qualsiasi numero reale positivo, allora h ( x ) = ( x +

$$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$$ $g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$$n$$b$ e quindi E[h(X)]=∫ ∞ - ∞ h(x)f(x $$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$$ Così abbiamo che per tutti i numeri reali positivi a e b , P { X ≥ un } ≤ E [ ( X + $$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$$ $a$$b$ $$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$$ $(1)$$n$$n$$X$$-b$$n = 2$$P\{X \geq a\}$ dare la disuguaglianza di Chebyshev unilaterale (o disuguaglianza di Chebyshev-Cantelli): P { X ≥ a } ≤ σ $b = \sigma^2/a$ Per valori maggiori din, la minimizzazione rispetto abè più complessa. $$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$$ $n$$b$