Intervallo di confidenza basato su Bootstrap

Mentre studiavo l'intervallo di confidenza basato su bootstrap, una volta ho letto la seguente dichiarazione:

Se la distribuzione bootstrap è inclinata a destra, l'intervallo di confidenza basato su bootstrap incorpora una correzione per spostare gli endpoint ancora più a destra; questo può sembrare controintuitivo, ma è l'azione corretta.

Sto cercando di capire la logica alla base dell'affermazione di cui sopra.

La domanda è correlata alla costruzione fondamentale degli intervalli di confidenza e, quando si tratta di bootstrap, la risposta dipende dal metodo di bootstrap utilizzato.

Si consideri la seguente è uno stimatore di un parametro reale valore θ con (una stima) deviazione standard se , poi un 95% intervallo di confidenza standard basato su un normale N ( θ , se 2 ) approssimazione è $\hat{\theta}$$\theta$$\text{se}$$N(\theta, \text{se}^2)$ Questo intervallo di confidenza è derivato come l'insieme di θ 's che compiere z 1 ≤ θ - θ ≤ z 2 dove z 1 = - 1.96

$$\hat{\theta} \pm 1.96 \text{se}.$$ $\theta$ $$z_{1} \leq \hat{\theta} - \theta \leq z_2$$ $z_1 = -1.96\text{se}$è il 2,5% quantile e è il 97,5% quantile per la distribuzione N ( 0 , se 2 ) . L'osservazione interessante è che durante la sistemazione delle diseguaglianze otteniamo l'intervallo di confidenza espresso come { θ | θ - z 2 ≤ θ ≤ θ - z 1 } = [ θ - Z 2 , θ - z 1 ] $z_2 = 1.96\text{se}$$N(0, \text{se}^2)$ $$\{\theta \mid \hat{\theta} - z_2 \leq \theta \leq \hat{\theta} - z_1 \} = [\hat{\theta} - z_2, \hat{\theta} - z_1].$$ Cioè, è il quantile inferiore del 2,5% che determina il punto finale destro e il quantile superiore del 97,5% che determina il punto finale sinistro .

Se la distribuzione campionaria di θ è giusto distorta rispetto alla approssimazione normale, qual è allora l'azione appropriata? Se inclinato a destra significa che il quantile del 97,5% per la distribuzione di campionamento è z 2 > 1,96 se , l'azione appropriata è spostare l'estremità sinistra più a sinistra. Cioè, se ci atteniamo alla costruzione standard sopra. Un utilizzo standard del bootstrap è quello di stimare i quantili di campionamento e quindi usarli invece di ± 1,96 se nella costruzione sopra.$\hat{\theta}$$z_2 > 1.96\text{se}$$\pm 1.96 \text{se}$

Tuttavia, un'altra costruzione standard utilizzato nel bootstrap rappresenta l' intervallo percentile , che è nella terminologia sopra. È semplicemente l'intervallo dal quantile 2,5% al 97,5% quantile per la distribuzione campionaria di θ . Una distribuzione campionaria destro distorta di θ implica un intervallo di confidenza destro distorta. Per i motivi sopra menzionati, questo

$$[\hat{\theta} + z_1, \hat{\theta} + z_2].$$ $\hat{\theta}.$$\hat{\theta}$mi sembra un comportamento controintuitivo degli intervalli percentili. Ma hanno altre virtù e sono, ad esempio, invarianti sotto trasformazioni monotone di parametri.

Gli intervalli di bootstrap BCa (corretti da bias e accelerati) introdotti da Efron, vedere ad esempio il documento Intervalli di confidenza Bootstrap , migliorano le proprietà degli intervalli percentili. Posso solo indovinare (e google) la citazione del post OP, ma forse BCa è il contesto appropriato. Citando Diciccio ed Efron dall'articolo citato, pagina 193,

$a$$z_0$$\phi = m(\theta)$$\hat{\phi} = m(\hat{\theta})$$\theta$

$$\hat{\phi} \sim N(\phi - z_0 \sigma_{\phi}, \sigma_{\phi}^2), \quad \sigma_{\phi} = 1 + a \phi.$$ $\theta$$\hat{\theta}$

$m$