Come analizzare l'andamento in serie temporali non periodiche

Supponiamo di avere le seguenti serie temporali non periodiche. Ovviamente la tendenza sta diminuendo e vorrei dimostrarlo con alcuni test (con valore p ). Non sono in grado di utilizzare la regressione lineare classica a causa della forte auto-correlazione temporale (seriale) tra i valori.

library(forecast)
my.ts <- ts(c(10,11,11.5,10,10.1,9,11,10,8,9,9,
               6,5,5,4,3,3,2,1,2,4,4,2,1,1,0.5,1),
            start = 1, end = 27,frequency = 1)
plot(my.ts, col = "black", type = "p",
     pch = 20, cex = 1.2, ylim = c(0,13))
# line of moving averages 
lines(ma(my.ts,3),col="red", lty = 2, lwd = 2)

Quali sono le mie opzioni?

Come hai detto, la tendenza nei dati di esempio è ovvia. Se si desidera solo giustificare questo fatto con il test di ipotesi, oltre a utilizzare la regressione lineare (la scelta parametrica ovvia), è possibile utilizzare il test Mann-Kendall non parametrico per la tendenza monotonica. Il test è usato per

valutare se c'è una tendenza monotonica al rialzo o al ribasso della variabile di interesse nel tempo. Una tendenza monotona verso l'alto (verso il basso) significa che la variabile aumenta costantemente (diminuisce) nel tempo, ma la tendenza può o meno essere lineare. ( http://vsp.pnnl.gov/help/Vsample/Design_Trend_Mann_Kendall.htm )

inoltre, come osservato da Gilbert (1987), il test

è particolarmente utile poiché sono ammessi valori mancanti e non è necessario che i dati siano conformi a una particolare distribuzione

La statistica del test è la differenza tra le differenze negative e positive tra tutte le possibili coppie n ( n - 1 ) / 2 , ovvero$x_j-x_i$$n(n-1)/2$

$\mathrm{sgn}(\cdot)$$S$ $\tau$$-1$$+1$$\tau$

$p$$n \le 10$$p$$S$$S$

$Z_{MK}$

$Z_{MK}$

• $Z_{MK} \ge Z_{1-\alpha}$
• $Z_{MK} \le -Z_{1-\alpha}$
• $|Z_{MK}| \ge Z_{1-\alpha/2}$

In questa discussione puoi trovare il codice R che implementa questo test.

$S$$p$$S$$p$$S_\text{data} \ge S_\text{permutation}$$S_\text{data} \le S_\text{permutation}$

Gilbert, RO (1987). Metodi statistici per il monitoraggio dell'inquinamento ambientale. Wiley, NY.

Önöz, B., e Bayazit, M. (2003). Il potere dei test statistici per il rilevamento delle tendenze. Journal turco di ingegneria e scienze ambientali, 27 (4), 247-251.

Il problema che hai "Non sono in grado di utilizzare la regressione lineare classica a causa della forte auto-correlazione temporale (seriale) tra i valori". è in realtà un'opportunità. Ho preso i tuoi 27 valori e ho usato AUTOBOX un software (che ho aiutato a sviluppare) che può (facoltativamente) determinare automaticamente un possibile modello. Ecco il grafico attuale / di adattamento e previsione . L'ACF dei residui è qui con la trama residua qui . Il modello è qui, qui e qui. Due coefficienti descrivono appropriatamente i dati con una "tendenza" stimata, nota anche come "deriva", ovvero differenziale da periodo a periodo di -.596. Si noti che questo è un tipo di tendenza in cui il modello ha utilizzato i numeri di conteggio 1,2, ... 27 come variabile predittore. Se i tuoi dati suggerissero quel tipo di tendenza, il software lo avrebbe trovato più applicabile. Cercherò di trovare un mio precedente post che descrivesse in dettaglio / contrastasse questi due tipi di tendenze. Qui Identificazione di un modello di tendenza stocastica e Rilevamento di tendenza iniziale o valori anomali

È possibile utilizzare il coefficiente di correlazione dei ranghi di Spearman per determinare il grado in cui i dati sono monotonici. Restituisce valori positivi per dati monotonici in aumento e valori negativi per dati monotonici in diminuzione (tra -1 e +1). Seguendo il link qui sopra, v'è anche un test di significatività sezione che si occupa, anche se sono sicuro che la maggior parte dei pacchetti software avranno un valore di p fatto per voi quando si calcolano i coefficienti di correlazione (ad esempio in Matlab: [RHO,PVAL] = corr(...); in R: cor.test(x,...))

Puoi usare OLS perché non c'è autocorrelazione seriale (almeno nel campione che hai fornito); notare la statistica del test Durbin-Watson di 1.966 (≈2).

Quindi, la stima del coefficiente significativamente negativo per x1 è tutto ciò che serve per dire qualcosa del genere

Il conteggio osservato di [alcune specie] sta diminuendo di circa 1.000 all'anno.

o

Il conteggio osservato di [alcune specie] sta diminuendo tra 628 e 1.408 all'anno (al 95% di confidenza).

Ciò presuppone che la metodologia per il conteggio delle specie abbia una buona copertura ed è coerente nel corso degli anni nel campione.

Questo è stato prodotto con questo codice Python (scusate; non ho R a portata di mano):

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

y = [10,12,10,11,8,9,6,4,2,4]
x = np.arange(len(y))
x = sm.add_constant(x)

mod = sm.OLS(y, x)
result = mod.fit()
print(result.summary())

Conoscere la fonte dei dati sarebbe molto utile, e anche le informazioni se i valori di my.tspotrebbero diventare negativi o meno.

Tuttavia, dando una rapida occhiata alla trama, piuttosto che vedere una tendenza lineare costante , suggerisco piuttosto che le serie temporali non siano fisse, quindi integrate . Ad esempio, anche i prezzi delle azioni sono integrati, ma i rendimenti delle azioni non sono più (fluttuano vicino a 0).

Questa ipotesi può anche essere verificata utilizzando il test completo Dickey completo:

require(tseries)
adf.test(my.ts)

Augmented Dickey-Fuller Test
Dickey-Fuller = -2.9557, Lag order = 2, p-value = 0.7727
alternative hypothesis: stationary

Dato che il valore p non è inferiore a 0,05, non ci sono prove che il processo sia fermo.

Per rendere stazionari i dati, è necessario differenziarli:

diff.ts <- diff(my.ts)
plot(diff.ts)

Ora i dati non mostrano più alcuna tendenza e l'unica cosa che troverai è un termine autoregressivo dell'ordine 2 (utilizzo acf(diff.ts)).