Qual è l'ipotesi nulla nel test di Mann-Whitney?

Sia un valore casuale dalla distribuzione 1 e sia un valore casuale dalla distribuzione 2. Ho pensato che l'ipotesi nulla per il test di Mann-Whitney fosse .$X_1$$X_2$$P(X_1 < X_2) = P(X_2 < X_1)$

Se eseguo simulazioni del test di Mann-Whitney su dati provenienti da distribuzioni normali con medie e varianze uguali, con , ottengo tassi di errore di tipo I che sono molto vicini a 0,05. Tuttavia, se rendo le varianze disuguali (ma lascio uguali i mezzi), la proporzione di simulazioni in cui viene respinta l'ipotesi nulla diventa maggiore di 0,05, cosa che non mi aspettavo, poiché ancora valido. Ciò accade quando uso in R, indipendentemente dal fatto che ho , o .P ( X 1 < X 2 ) = P ( X 2 < X 1$\alpha=0.05$$P(X_1 < X_2) = P(X_2 < X_1)$wilcox.testexact=TRUEexact=FALSE, correct=TRUEexact=FALSE, correct=FALSE

L'ipotesi nulla è diversa da quella che ho scritto sopra o è solo che il test non è accurato in termini di errore di tipo I se le varianze sono disuguali?

Da Hollander & Wolfe pp 106-7,

Sia la funzione di distribuzione corrispondente alla popolazione 1 e sia la funzione di distribuzione corrispondente alla popolazione 2. L'ipotesi nulla è: per ogni . L'ipotesi nulla afferma che la variabile e la variabile abbiano la stessa distribuzione di probabilità, ma la distribuzione comune non è specificata.$F$$G$$H_O: F(t)=G(t)$$t$$X$$Y$

A rigor di termini questo descrive il test di Wilcoxon, ma , quindi sono equivalenti.$U=W-\frac{n(n+1)}{2}$