Ecco un altro, più indiretto, ma credo interessante, vale a dire la connessione tra diversi approcci per calcolare il coefficiente di autocorrelazione parziale di una serie storica stazionaria.
Definizione 1
Y^t−μ=α(m)1(Yt−1−μ)+α(m)2(Yt−2−μ)+…+α(m)m(Yt−m−μ)
mα(m)m
mYtYt−1,…,Yt−m+1ρmYtYt - m .
Come troviamo il α( m )j? Ricordiamo che una proprietà fondamentale di una regressione diZt sui regressori Xtè che i coefficienti sono tali che i regressori e i residui non sono correlati. In una regressione della popolazione questa condizione viene quindi dichiarata in termini di correlazioni della popolazione. Poi:
E[Xt(Zt−X⊤tα(m)) ]=0
Risolvendo per
α( m )troviamo i
coefficienti di proiezione lineare
α( m )= [ E( XtX⊤t) ]- 1E[ XtZt]
Applicando questa formula a
Zt= Yt- μ e
Xt=[(Yt−1−μ),(Yt−2−μ),…,(Yt−m−μ)]⊤
we have
E(XtX⊤t)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜γ0γ1⋮γm−1γ1γ0⋮γm−2⋯⋯⋱⋯γm−1γm−2⋮γ0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟
Also,
E(XtZt)=⎛⎝⎜⎜γ1⋮γm⎞⎠⎟⎟
Hence,
α(m)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜γ0γ1⋮γm−1γ1γ0⋮γm−2⋯⋯⋱⋯γm−1γm−2⋮γ0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟−1⎛⎝⎜⎜γ1⋮γm⎞⎠⎟⎟
The
mth partial correlation then is the last element of the vector
α(m).
So, we sort of run a multiple regression and find one coefficient of interest while controlling for the others.
Definition 2
The mth partial correlation is the correlation of the prediction error of Yt+m predicted with Yt−1,…,Yt−m+1 with the prediction error of Yt predicted with Yt−1,…,Yt−m+1.
So, we sort of first control for the intermediate lags and then compute the correlation of the residuals.