Come possiamo simulare da una miscela geometrica?

Se $f_1,\ldots,f_k$ sono densità note dalle quali posso simulare, ovvero per le quali è disponibile un algoritmo. e se il prodotto

\prod_{i = 1}^{k} f_{i} (x)^{α_{i}} α_{1}, \dots, α_{k} > 0

$\prod_{i=1}^k f_i(x)^{\alpha_i}\qquad \alpha_1,\ldots,\alpha_k>0$ è integrabile, esiste un approccio generico per simulare da questa densità di prodotto usando i simulatori di

f_{i}

$f_i$ ?

— Xi'an
fonte

α_{i} = 1

$\alpha_i=1$

ϵ > 0

$\epsilon\gt 0$

f_{i}

$f_i$

I_{i}

$I_i$

f_{i} \leq 1

$f_i\le 1$

\underset{i}{Pr} (I_{i}) > 1 - ϵ

$\Pr_i(I_i)\gt 1-\epsilon$

0 < f_{i} < ϵ

$0\lt f_i\lt \epsilon$

I_{i} \cap I_{j} = \emptyset

$I_i\cap I_j=\emptyset$

i \neq j

$i\ne j$

I_{i}

$I_i$

\prod f_{i}

$\prod f_i$ apparentemente non correlato .) Quindi, cos'altro puoi dirci ?

I_{i}

$I_i$

f_{i}

$f_i$

— whuber

(+10) Corretto! L'uso di un più piccolo porterebbe comunque ad appiattire tutti gli elementi e quindi favorirebbe la sovrapposizione dei loro supporti efficaci ...

α_{i}

$\alpha_i$

— Xi'an

Come ha detto whuber, la tenuta sarà un problema, quindi prenderei una trasformazione (o campionamento preferenziale) per annullare la tenuta prima di generare campioni casuali. C'è un approccio costruttivo che penso di aver letto qualche tempo fa. Sez. 10.7 di link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0209-7_10 Non sono sicuro se la discretizzazione possa essere applicata anche qui.

— Henry.L

Bene, ovviamente c'è l'algoritmo di accettazione-rifiuto, che implementerei per il tuo esempio come:

(Inizializzazione) Per ogni , trova . Modifica di seguito il commento di Xi'an: Seleziona la distribuzione che corrisponde al più piccolo . $i$ $A_i = \sup_x \{\Pi_{j=1}^k f_j(x)^{\alpha_j}/f_i(x)\}$ $f_i$ $A_i$
Genera da . $x$ $f_i$
Calcola . $\alpha = \Pi_{i=j}^k f_j(x)^{\alpha_j} / (A_if_i(x))$
Genera . $u \sim U(0,1)$
Se , restituisce , altrimenti vai a 2. $u \leq \alpha$ $x$

A seconda delle distribuzioni, ovviamente, potresti avere un tasso di accettazione molto basso. In questo caso, il numero previsto di iterazioni è uguale alla selezionata (presupponendo distribuzioni continue), quindi almeno sarai avvisato in anticipo. $A_i$

— jbowman
fonte

(+1) Effettivamente una soluzione! Supponendo che i limiti

esistono per tutti

s. O anche un po

's. Il confronto delle

[supponendo che siano limitate] può anche aiutare a selezionare la

più efficiente .

A_{i}

$A_i$

i

$i$

i

$i$

A_{i}

$A_i$

f_{i}

$f_i$

— Xi'an,

Io non ci avevo pensato, ma naturalmente hai ragione, la

loro s sono molto informativo, in quanto sono uguali anche per il numero previsto di iterazioni necessarie per realmente generare il numero casuale se si bastone con un

tutto . Quindi dovresti scegliere la distribuzione con la

più piccola da usare sempre. Modifica la risposta in modo che il tuo punto non si perda nei commenti.

A_{i}

$A_i$

i

$i$

A_{i}

$A_i$

— jbowman,

Cioè, supponendo che tutti

siano correttamente normalizzati [per integrarsi a uno], che non è necessariamente un evento standard.

f_{i}

$f_i$

— Xi'an,