In CLT, perché

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Consenti a essere osservazioni indipendenti da una distribuzione che ha la media e varianza , quando , quindi $X_1,...,X_n$ $\mu$ $\sigma^2 < \infty$ $n \rightarrow \infty$

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1) .

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$

Perché questo implica che

{\bar{X}}_{n} ~ N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) ?

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$

probability central-limit-theorem

— mavavilj
fonte

Forse questo non è stato sottolineato abbastanza chiaramente di seguito, ma l'affermazione

è matematicamente significativo e vero mentre l'affermazione

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1)

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1)$

è matematicamente assurdo, quindi, come dice il proverbio,nemmeno sbagliato.

{\bar{X}}_{n} ~ N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

— Ha fatto il

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La tua interpretazione è leggermente errata. Il Teorema del limite centrale (CLT) lo implica

{\bar{X}}_{n} \overset{ca.}{~} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) .

$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$

Questo perché CLT è un risultato asintotico e in pratica ci occupiamo solo di campioni finiti. Tuttavia, quando la dimensione del campione è abbastanza grande, allora assumiamo che il risultato CLT rimanga vero in approssimazione, e quindi

\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} & \overset{ca.}{~} N (0, 1) \\ \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} . \frac{σ}{\sqrt{n}} & \overset{ca.}{~} \frac{σ}{\sqrt{n}} N (0, 1) \\ {\bar{X}}_{n} - μ & \overset{ca.}{~} N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} - μ + μ & \overset{ca.}{~} μ + N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} & \overset{ca.}{~} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) . \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$

Questo perché per una variabile casuale e costanti , (questo è usato nel secondo passaggio) ed , (utilizzato nel secondo ultimo passaggio). $X$ $a,b$ $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ $E(b + X) = b + E(X)$ $\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

Leggi questo per ulteriori spiegazioni sull'algebra.

— Greenparker
fonte

Potresti chiarire quale "algebra" stai usando quando prendi i termini da LHS di

a RHS?

\sim

$\sim$

— mavavilj,

Ho chiarito l'algebra. La maggior parte utilizza proprietà di varianza e aspettativa.

— Greenparker

Perché non ad esempio il secondo termine di

diventa

N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

?

N (μ, μ + \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \mu+\frac{\sigma^2}{n})$

— mavavilj,

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Perché

. Intuitivamente, l'aggiunta di un numero costante a una variabile casuale non ne modifica la varianza.

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$

— Greenparker,

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Il modo più semplice per vederlo è guardando la media e la varianza della variabile casuale . $\bar X_n$

Quindi, afferma che la media è zero e la varianza è una. Quindi, abbiamo per la media: $\mathcal{N}(0,1)$

Usando, dovesono costanti, otteniamo:

E [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 0

$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$

E [a \cdot x + b] = a \cdot E [x] + b

$E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$

a, b

$a,b$

{\bar{X}}_{n} \approx μ

$\bar{X}_n\approx\mu$

Ora, usando , dove sono costanti, otteniamo quanto segue per la varianza: $\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$ $a,b$

Var [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 1

$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$

Var [{\bar{X}}_{n}] \approx \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$

$\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

$\rightarrow$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

— Aksakal
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$\bar{X}_n$ $\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$ $\tau Z + \mu \sim$ $(\mu, \tau^2)$ $Z \sim$ $(0, 1)$

\begin{aligned} M_{τ Z + μ} (t) & = M_{Z} (τ t) M_{μ} (t) \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2} e^{t μ} \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2 + t μ} \end{aligned}

$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$

$(\mu, \tau^2)$

— dsaxton
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Perché la funzione di generazione del momento lo dimostra per la distribuzione?

— mavavilj,

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Questo è un risultato dalla probabilità. Se due variabili casuali hanno la stessa funzione di generazione del momento, sono uguali nella distribuzione.

— dsaxton,