Cos'è una matrice di covarianza isotropica (sferica)?

Qualcuno potrebbe spiegarmi in termini semplici cos'è una matrice di covarianza isotropica? Non riesco a trovare nulla online.

terminology covariance-matrix definition

— test
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Una matrice di covarianza è chiamata isotropica , o sferica , se è proporzionata alla matrice di identità: cioè è diagonale e tutti gli elementi sulla diagonale sono uguali. $\mathbf C$

C = λ I,

$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$

Questa definizione non dipende dal sistema di coordinate; se ruotiamo il sistema di coordinate con una matrice di rotazione ortogonale , la matrice di covarianza si trasformerà in cioè rimarrà la stessa. $\mathbf V$

V^{⊤} C V = V^{⊤} \cdot λ I \cdot V = V^{⊤} V \cdot λ I = λ I,

$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$

Intuitivamente, la matrice di covarianza isotropica corrisponde a una nuvola di dati "sferica". Una sfera rimane una sfera dopo la rotazione.

— ameba
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Cosa succede se le variabili possono essere ruotate per arrivare alla matrice di covarianza

λ I

$\lambda \mathbf I$

— Aksakal,

@Aksakal Vedi aggiornamento.

— amoeba,

+1. Ma curiosamente, una definizione completamente diversa di "isotropico" si applica anche a

perché - come al solito con le matrici di covarianza - rappresenta una forma quadratica su uno spazio vettoriale reale. Ma in questo altro senso, l' unica matrice di covarianza isotropa è la matrice zero!

C

$C$

— whuber

@whuber Interessante! Non ricordavo che esiste una nozione di forme quadratiche "isotropiche". Ma leggendo la definizione ora, nessuna matrice di covarianza con almeno un autovalore zero sarebbe "isotropica" in questo senso?

— amoeba,

Hai ragione - ho specificato male il quantificatore. Per definizione, una forma quadratica isotropica ha almeno un vettore isotropico diverso da zero (piuttosto che tutti i vettori sono isotropi).

— whuber

$|x - x'|$

Modifica: scusa ho letto male, per matrice, la risposta giusta è quella di ameba.

— mic
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Le domande riguardano la matrice di covarianza . Naturalmente una matrice può essere vista come una funzione, ma suppongo che ciò richieda una certa elaborazione per l'OP.

— amoeba,