Ci sarà mai un Tribble infelice a Oz?

Ecco un problema divertente che mi ha portato uno studente. Sebbene sia stato originariamente formulato in termini di proiettili che si annichilano a vicenda sparati a intervalli regolari da una pistola, ho pensato che potresti goderti una presentazione più pacifica.

Nell'infinito mondo piatto di Oz, la Yellow Brick Road inizia nel centro della città di smeraldo, si snoda attraverso la campagna e procede per sempre senza attraversare se stessa. A mezzogiorno ogni giorno, una giovane lussuriosa Tribble ermafrodita inizia a rotolare lungo questa strada dalla sua origine a una velocità scelta in modo uniforme fino a un chilometro al giorno. Durante il suo viaggio continuerà a rotolare alla stessa velocità, senza mai fermarsi. Ma se mai un Tribble ne supera un altro sulla strada, ognuno riconosce immediatamente la sua anima gemella e i due cadono di lato (presumibilmente per riprodurre e infine fornire più Tribbles a casa).

Come sapete, tali accoppiamenti si verificano spesso, perché la possibilità che due Tribbles rotoli esattamente alla stessa velocità è zero. Oh felici Tribbles! Ma la vita è garantita per tutti?

Qual è la possibilità che almeno un Tribble continui per sempre, senza mai sorpassare o essere superato?

Modifica: mi sembra di aver confuso l'idea di probabilità positiva e probabilità 1. La dichiarazione dimostrata qui è molto più debole di quanto sperassi.

Intuitivamente, la risposta è 0. Non è difficile dimostrarlo

Ogni dato Tribble, con probabilità positiva, alla fine ottiene un compagno.

Ma penso che questo potrebbe non essere sufficiente per implicare che con probabilità positiva, ogni tripletta alla fine ottiene un compagno, per paradosso di Zenone.

Ecco una prova dell'affermazione citata. Innanzitutto, sostituiamo il problema con una formulazione alternativa più semplice come segue. C'è uno stack che inizia vuoto. Un computer disegna variate casuali in sequenza in modo indipendente e uniforme da [0, 1]. Ogni volta che viene disegnato un valore, la pila cambia.

• Se la pila è vuota o l'articolo in cima alla pila ha un valore maggiore, viene aggiunto un nuovo oggetto con il nuovo valore. (È stato creato un proiettile più lento dell'ultimo proiettile o un Tribble più lento dell'ultimo Tribble.)
• Altrimenti, l'elemento in alto viene rimosso. (I proiettili o i Tribbles si scontrano.)

(Questa formulazione non include l'evento di un proiettile o Tribble più veloce del precedente creato ma poi distrutto prima che colpisca il precedente, ma un tale evento lascia lo stack uguale, quindi non ha alcuna conseguenza.)

Voglio dimostrare che ogni dato oggetto, con probabilità positiva, viene infine rimosso dalla pila. Possiamo supporre senza perdita di generalità che il valore non sia mai disegnato, poiché la probabilità che ciò accada è 0. Se sia un elemento esistente e suo valore. Sia il numero di elementi sopra e loro valori in ordine, con come valore dell'elemento principale corrente. Se i successivi valori da disegnare atterrano, rispettivamente, nell'intervallo , nell'intervallo e così via fino a , quindiI 0 v 0 k I 0 v 1$1$$I_0$$v_0$$k$$I_0$v k k + 1 ( v k , 1 ) ( v k - 1 , 1 ) ( v 0 , 1 ) I 0 ( 1 - v k ) ( 1 - v k - 1 ) ⋯ ( 1 - v 0$v_1,\; v_2,\; …,\; v_k$$v_k$$k + 1$$(v_k, 1)$$(v_{k-1}, 1)$$(v_0, 1)$$I_0$ e tutti gli elementi sopra verranno rimossi. La probabilità di questo evento è , che è un prodotto finito di numeri positivi, quindi è positivo.$(1 - v_k)(1 - v_{k-1})\cdots(1 - v_0)$