Perché l'asimmetria sinistra viene definita obliqua negativamente e l'asimmetria destra viene definita obliqua positivamente?

Sono curioso di sapere la nomenclatura: perché l'asimmetria di sinistra viene definita obliqua negativamente e l'inclinazione di destra viene definita obliqua?

terminology skewness

— luglio
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Sottolineiamo che i termini sinistra e destra dipendono da una convenzione tacita secondo cui l'asse di magnitudine di un grafico mostra una distribuzione s orizzontale con valori negativi a sinistra. Questo può sembrare troppo ovvio per affermarlo, tranne per quelli che fanno le cose in modo diverso.

— Nick Cox,

La mia breve risposta è che è di progettazione. Le misure di asimmetria sono generalmente costruite in modo tale che l'asimmetria positiva indichi distribuzioni distorte a destra.

Oggi la misura più comune dell'asimmetria , che di solito viene insegnata anche nelle scuole, si basa sull'equazione del terzo momento centrale come segue:

μ_{3} = E [(X - μ)^{3}]

$\mu_3=E[(X-\mu)^3]$

Guarda l'espressione sopra. Quando c'è più peso (della funzione di distribuzione) a destra della media, allora contribuirà con valori più positivi. La destra della media è positiva, perché e la sinistra è negativa perché . Quindi, meccanicamente sembrerebbe rispondere esattamente alla tua domanda. $(x-\mu)^3$ $x>\mu$ $x<\mu$

Tuttavia, come ha sollevato @ Nick Cox, esiste più di una misura di asimmetria, come il primo coefficiente di asimmetria di Pearson , che si basa sulla differenza nella . Potenzialmente, misure diverse di asimmetria potrebbero portare a relazioni diverse tra asimmetria positiva e tendenza ad avere code più pesanti sulla destra. $mean-mode$

Quindi, è interessante esaminare perché queste misure di asimmetria sono state introdotte in primo luogo e perché hanno le loro formulazioni particolari.

In questo contesto è utile guardare l'esposizione di asimmetria di Yule in An Introduction to the Theory of Statistics (1912). Nel seguente estratto descrive le proprietà desiderate di una ragionevole misura di asimmetria. Fondamentalmente, richiede che l'asimmetria positiva corrisponda alle giuste distribuzioni distorte, come nella tua foto:

— Aksakal
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Corretto, ma incompleto nella misura in cui esistono molti altri modi per misurare l'asimmetria. Ma tutto ciò che so di seguire la stessa convenzione secondo cui l'asimmetria a destra e l'inclinazione a sinistra generalmente produce risultati positivi e negativi, come ad esempio (media mediana) / DS. L'unica cosa certa, tuttavia, è che le distribuzioni simmetriche hanno zero asimmetria. È possibile avere distribuzioni asimmetriche per le quali diverse misure di asimmetria non concordano nemmeno in segno.

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— Nick Cox,

Ti credo, ma la domanda rimane generale e beneficia di una risposta generale. In circa un secolo, una notevole confusione è già stata causata dalla fusione di un'idea generale di asimmetria con modi particolari di definirla. (Non menzionerò la curtosi.)

— Nick Cox,

I dettagli storici qui sono molto interessanti per me. Il mio tentativo di revisione in miniatura sottolinea che l'asimmetria basata sul momento precede Pearson, sebbene Pearson fosse principalmente interessato a misurare l'asimmetria rispetto alla modalità, come riflettono i commenti di Yule. Vedi stata-journal.com/sjpdf.html?articlenum=st0204 (In effetti, Pearson è stato offuscato nel riconoscere i precedenti lavori sulla misura basata sul momento.)

— Nick Cox,

L'estratto di Yule ci aiuta a vedere oltre i dettagli estranei all'essenza della risposta: una distribuzione in cui la coda positiva è considerata "più lunga" di quella negativa ha un'asimmetria positiva. Tutto il resto dipende da come si determinano le code e si misurano le loro lunghezze.

— whuber

Non vedo come la risposta perderebbe nulla menzionando una o due altre misure di asimmetria (come l'asimmetria mediana / seconda misura di asimmetria di Pearson) e sottolineando che la discussione prosegue (proprio come suggerisce Nick).

— Glen_b