Esiste un'altra interpretazione per una distribuzione gamma con parametro di forma non intero?

È noto che una variabile casuale essendo Gamma distribuita con il parametro di forma intera è equivalente alla somma dei quadrati di variabili casuali normalmente distribuite. $k$ $k$

Ma cosa posso dire di una variabile casuale distribuita gamma con non intero ? C'è qualche altra interpretazione diversa dalla distribuzione gamma? $k$

probability gamma-distribution

— stollenm
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Gamma con parametro di forma è la somma dei quadrati di variabili casuali normalmente distribuite. Gamma con parametro di forma è la somma di iid distribuzioni esponenziali.

k / 2

$k/2$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— Greenparker,

Un'altra interpretazione della gamma con intero

k

$k$ : è il tempo di attesa fino al

° arrivo in un processo di Poisson unidimensionale con intensità

k

$k$

1 / θ

$1/\theta$

— Stephan Kolassa,

Se e sono indipendenti, allora In particolare, se , viene distribuito con la stessa distribuzione di $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $Y\sim{\cal G}(\beta,1)$

X + Y \sim G (α + β, 1)

$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

per ogni

. (Questa proprietà è chiamatadivisibilità infinita.) Ciò significa che, se

quando

non è un numero intero,

ha la stessa distribuzione di

con

indipendente da

X_{1} + \dots + X_{n} \sim G (α, 1) X_{i} \overset{iid}{\sim} G (α / n, 1)

$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$

n \in N

$n\in\mathbb N$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

α

$\alpha$

X

$X$

Y + Z

$Y+Z$

Z

$Z$

Y

$Y$

Implica anche che le forme con valore intero

non abbiano un significato particolare per i Gamma.

Y \sim G (⌊ α ⌋, 1) Z \sim G (α - ⌊ α ⌋, 1)

$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$

α

$\alpha$

Al contrario, se con , ha la stessa distribuzione di quando è indipendente da e E quindi la distribuzione è invariante in $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $\alpha<1$ $YU^{1/\alpha}$ $Y$ $U\sim{\cal U}(0,1)$

Y \sim G (α + 1, 1)

$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$

G (α, 1)

${\cal G}(\alpha,1)$

X \sim (X^{'} + ξ) U^{1 / α} X, X^{'} \sim G (α, 1) U \sim U (0, 1) ξ \sim E (1)

$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$

— Xi'an
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