Una visione dei sistemi dinamici del teorema del limite centrale?

(Originariamente pubblicato su MSE.)

Ho visto molte discussioni euristiche sul teorema del limite centrale classico parlare della distribuzione normale (o di una qualsiasi delle distribuzioni stabili) come un "attrattore" nello spazio delle densità di probabilità. Ad esempio, considera queste frasi all'inizio del trattamento di Wikipedia :

Nell'uso più generale, un teorema del limite centrale è uno qualsiasi di un insieme di teoremi di convergenza debole nella teoria della probabilità. Tutti esprimono il fatto che una somma di molte variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (iid), o in alternativa, variabili casuali con tipi specifici di dipendenza, tenderà a essere distribuita secondo una di una piccola serie di distribuzioni di attrattori . Quando la varianza delle variabili iid è limitata, la distribuzione dell'attrattore è la distribuzione normale.

Questo linguaggio dinamico dei sistemi è molto suggestivo. Feller parla anche di "attrazione" nel suo trattamento del CLT nel suo secondo volume (mi chiedo se questa sia la fonte della lingua), e Yuval Flimus in questa nota parla addirittura del "bacino di attrazione". (Non penso che significhi davvero "la forma esatta del bacino di attrazione è deducibile in anticipo", ma piuttosto "la forma esatta dell'attrattore è deducibile in anticipo"; tuttavia, la lingua è lì.) La mia domanda è: possono questi le analogie dinamiche devono essere precise?Non conosco un libro in cui si trovino, anche se molti libri sottolineano che la distribuzione normale è speciale per la sua stabilità sotto convoluzione (così come la sua stabilità sotto la trasformata di Fourier). Questo in sostanza ci sta dicendo che il normale è importante perché è un punto fisso. Il CLT va oltre, dicendoci che non è solo un punto fisso ma un attrattore.

Per rendere precisa questa immagine geometrica, immagino che lo spazio delle fasi sia uno spazio funzionale a dimensione infinita adatta (lo spazio delle densità di probabilità) e l'operatore di evoluzione da ripetere convoluzione con una condizione iniziale. Ma non ho alcun senso degli aspetti tecnici coinvolti nel far funzionare questa immagine o se vale la pena perseguire.

Immagino che, dal momento che non riesco a trovare un trattamento che persegue esplicitamente questo approccio, ci debba essere qualcosa di sbagliato nel mio senso che possa essere fatto o che sarebbe interessante. In tal caso, vorrei sapere perché.

EDIT : Ci sono tre domande simili in Math Stack Exchange e MathOverflow a cui i lettori potrebbero essere interessati:

• Distribuzioni gaussiane come punti fissi in Some distribut space (MO)
• Teorema del limite centrale tramite entropia massima (MO)
• Esiste una prova del teorema del limite centrale tramite un teorema a virgola fissa? (MSE)

Dopo aver scavato nella letteratura, incoraggiato dalla risposta di Kjetil, ho trovato alcuni riferimenti che prendono sul serio l'approccio geometrico / dinamico al CLT, oltre al libro di Y. Sinai. Sto pubblicando ciò che ho trovato per gli altri che potrebbero essere interessati, ma spero ancora di sentire da un esperto il valore di questo punto di vista.

L'influenza più significativa sembra provenire dal lavoro di Charles Stein. Ma la risposta più diretta alla mia domanda sembra essere di Hamedani e Walter, che hanno messo una metrica nello spazio delle funzioni di distribuzione e mostrano che la convoluzione genera una contrazione, che produce la distribuzione normale come unico punto fisso.

• M. Anshelevich, La linearizzazione dell'operatore del limite centrale nella teoria della probabilità libera , arXiv: math / 9810047v2.
• LHY Chen, L. Goldstein e Q. Shao, Normal Approximation by Stein's Method , Springer, 2011.
• JA Goldstein, prove teoriche dei semigruppi del teorema del limite centrale e altri teoremi di analisi , Semigroup Forum 12 (1976), n. 3, 189–206.
• GG Hamedani e GG Walter, un teorema a virgola fissa e la sua applicazione al teorema del limite centrale , Arch. Matematica. (Basilea) 43 (1984), n. 3, 258–264.
• S. Swaminathan, prove teoriche a virgola fissa del teorema del limite centrale, in Teoria e applicazioni a virgola fissa (Marsiglia, 1989), Res. Pitman. Note di matematica. Ser., Vol. 252, Longman Sci. Tech., Harlow, 1991, pagg. 391–396. Citato in Karl Stromberg, Probabilità per analisti, pagina 114 .

AGGIUNTO 19 ottobre 2018.

Un'altra fonte per questo punto di vista è quella di Oliver Knill probabilità di e i processi stocastici con applicazioni , p. 11 (enfasi aggiunta):

$P$$f_y$$f_{\overline{Y+X}}$$\overline{Y+X}$$Y + X$$0$$1$$f= 1$$P^n(f_X)$$S^{*}_n$$n$$X_i$$1$$0$$P$ $\mathcal{L}^1$. Funziona anche in altre situazioni. Ad esempio, per le variabili casuali con valori di cerchio, la distribuzione uniforme massimizza l'entropia. Non sorprende quindi che esista un teorema limite centrale per le variabili casuali valutate a cerchio con la distribuzione uniforme come distribuzione limitante.

Il testo "Teoria della probabilità un corso introduttivo" di Y Sinai (Springer) discute il CLT in questo modo.

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

L'idea è (dalla memoria ...) quella

$A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$